Com 80 metros de cerca um fazendeiro deseja circundar uma área retangular junto a um rio para confinar alguns animais.
Quais devem ser as medidas do retângulo para que a área cercada seja a maior possível?
Quais devem ser as medidas do retângulo para que a área cercada seja a maior possível?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema é sobre um fazendeiro que tem 80 metros de cerca e quer cercar uma área retangular junto a um rio para manter os animais. Nosso objetivo é descobrir quais devem ser as medidas desse retângulo para que a área cercada seja a maior possível. Vamos usar conceitos de geometria e otimização para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a cerca será utilizada. Como o retângulo está junto ao rio, não precisamos cercar esse lado. Então, vamos precisar cercar apenas três lados: dois lados menores (largura) e um lado maior (comprimento).
Vamos chamar:
- L de comprimento (lado paralelo ao rio)
- C de largura (lados perpendiculares ao rio)
Passo 3
Sabemos que o total de cerca disponível é 80 metros. Como vamos cercar dois lados de largura e um lado de comprimento, podemos escrever a equação do perímetro:
Passo 4
Nosso objetivo é maximizar a área do retângulo. A área (A) de um retângulo é dada por:
Mas queremos maximizar isso. Para facilitar, vamos expressar uma variável em termos da outra usando a equação do perímetro.
Passo 5
Da equação do perímetro:
Agora, substituímos esse valor na equação da área:
Passo 6
Agora, temos uma função quadrática para a área em termos de C:
Sabemos que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Como o coeficiente de $ C^2 $ é negativo (-2), a parábola abre para baixo, o que significa que o ponto máximo da parábola representa a área máxima.
Passo 7
Para encontrar o valor de C que maximiza a área, usamos a fórmula do vértice da parábola:
Onde na nossa equação $ A© = aC^2 + bC + c $, temos:
- $ a = -2 $
- $ b = 80 $
Substituindo:
Passo 8
Agora que sabemos que a largura $ C = 20 $ metros, podemos encontrar o comprimento $ L $ usando a equação do perímetro:
Resposta
As medidas do retângulo que maximizam a área cercada são:
- Comprimento (L): 40 metros
- Largura ©: 20 metros