Com 80 metros de cerca um fazendeiro deseja circundar uma área retangular junto a um rio para confinar alguns animais.
Quais devem ser as medidas do retângulo para que a área cercada seja a maior possível?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema é sobre um fazendeiro que tem 80 metros de cerca e quer cercar uma área retangular junto a um rio para manter os animais. Nosso objetivo é descobrir quais devem ser as medidas desse retângulo para que a área cercada seja a maior possível. Vamos usar conceitos de geometria e otimização para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a cerca será utilizada. Como o retângulo está junto ao rio, não precisamos cercar esse lado. Então, vamos precisar cercar apenas três lados: dois lados menores (largura) e um lado maior (comprimento).
Vamos chamar:
  • L de comprimento (lado paralelo ao rio)
  • C de largura (lados perpendiculares ao rio)

Passo 3

Sabemos que o total de cerca disponível é 80 metros. Como vamos cercar dois lados de largura e um lado de comprimento, podemos escrever a equação do perímetro:
2C + L = 80

Passo 4

Nosso objetivo é maximizar a área do retângulo. A área (A) de um retângulo é dada por:
A = L times C
Mas queremos maximizar isso. Para facilitar, vamos expressar uma variável em termos da outra usando a equação do perímetro.

Passo 5

Da equação do perímetro:
L = 80 - 2C
Agora, substituímos esse valor na equação da área:
A = (80 - 2C) times C
A = 80C - 2C^2

Passo 6

Agora, temos uma função quadrática para a área em termos de C:
A(C) = -2C^2 + 80C
Sabemos que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Como o coeficiente de $ C^2 $ é negativo (-2), a parábola abre para baixo, o que significa que o ponto máximo da parábola representa a área máxima.

Passo 7

Para encontrar o valor de C que maximiza a área, usamos a fórmula do vértice da parábola:
C = -b2a
Onde na nossa equação $ A© = aC^2 + bC + c $, temos:
  • $ a = -2 $
  • $ b = 80 $
Substituindo:
A(C) = aC^2 + bC + c
a = -2
b = 80

Passo 8

Agora que sabemos que a largura $ C = 20 $ metros, podemos encontrar o comprimento $ L $ usando a equação do perímetro:
C = 20
L
L = 80 - 2C
L = 80 - 2 times 20

Resposta

As medidas do retângulo que maximizam a área cercada são:
  • Comprimento (L): 40 metros
  • Largura ©: 20 metros

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