Encontre os valores mínimo e máximo atingidos pela função
em cada um dos intervalos abaixo:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores mínimo e máximo da função $ f(x) = x^{2} - 4x + 3 $ no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e análise de valores em intervalos fechados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ f(x) = x^{2} - 4x + 3 $. Essa é uma função quadrática, cujo gráfico é uma parábola. O coeficiente de $ x^{2} $ é positivo, o que significa que a parábola abre para cima. Isso indica que a função tem um ponto mínimo, mas não tem um ponto máximo global (mas no nosso intervalo específico, podemos encontrar um máximo).
Passo 3
Para encontrar o valor mínimo da função, precisamos encontrar o vértice da parábola. A fórmula para a coordenada $ x $ do vértice é:
onde $ a = 1 $ e $ b = -4 $ na nossa função.
Passo 4
Substituindo os valores:
Então, o vértice está em $ x = 2 $.
Passo 5
No entanto, nosso intervalo é
, e $ x = 2 $ não está dentro desse intervalo. Isso significa que o ponto mínimo da função no intervalo está em um dos extremos.
Passo 6
Vamos calcular $ f(x) $ nos pontos extremos do intervalo:
Para $ x = 6 $:
Para $ x = 10 $:
Passo 7
Comparando os valores:
Como a função aumenta no intervalo
, o valor mínimo é 15 e o valor máximo é 63.
Resposta
No intervalo
, a função $ f(x) = x^{2} - 4x + 3 $ atinge o valor mínimo igual a 15 e o valor máximo igual a 63.