Encontre os valores mínimo e máximo atingidos pela função
em cada um dos intervalos abaixo:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores mínimo e máximo da função $ f(x) = x^{2} - 4x + 3 $ no intervalo
. Esse problema está relacionado ao estudo das funções quadráticas e seus extremos em intervalos específicos. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos críticos da função e avaliar seus valores nas extremidades do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a função $ f(x) = x^{2} - 4x + 3 $ possui algum ponto de mínimo ou máximo dentro do intervalo
. Como essa é uma função do segundo grau com coeficiente positivo em $ x^{2} $, sabemos que o gráfico é uma parábola que abre para cima, indicando que existe um ponto de mínimo.
Passo 3
Para encontrar o ponto onde ocorre o mínimo, vamos calcular o vértice da parábola. A coordenada $ x $ do vértice pode ser encontrada usando a fórmula:
onde $ a = 1 $ e $ b = -4 $ na nossa função. Substituindo:
Passo 4
Agora que sabemos que o mínimo ocorre em $ x = 2 $, vamos calcular o valor de $ f(2) $:
Portanto, o valor mínimo é
Passo 5
Em seguida, devemos verificar os valores da função nas extremidades do intervalo
para encontrar o valor máximo. Vamos calcular $ f(1) $ e $ f(4) $:
Para $ x = 1 $:
Para $ x = 4 $:
Resposta
No intervalo
, a função $ f(x) = x^{2} - 4x + 3 $ atinge o valor mínimo de
em $ x = 2 $ e o valor máximo de
em $ x = 4 $.