Encontre os valores mínimo e máximo atingidos pela função f(x)=x^2-4 x+3 em cada um dos intervalos abaixo:
[1,4]

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores mínimo e máximo da função $ f(x) = x^{2} - 4x + 3 $ no intervalo f(x) = x^2 - 4x + 3 . Esse problema está relacionado ao estudo das funções quadráticas e seus extremos em intervalos específicos. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos críticos da função e avaliar seus valores nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a função $ f(x) = x^{2} - 4x + 3 $ possui algum ponto de mínimo ou máximo dentro do intervalo f(x) = x^2 - 4x + 3 . Como essa é uma função do segundo grau com coeficiente positivo em $ x^{2} $, sabemos que o gráfico é uma parábola que abre para cima, indicando que existe um ponto de mínimo.

Passo 3

Para encontrar o ponto onde ocorre o mínimo, vamos calcular o vértice da parábola. A coordenada $ x $ do vértice pode ser encontrada usando a fórmula:
x
onde $ a = 1 $ e $ b = -4 $ na nossa função. Substituindo:
xv = -b2a

Passo 4

Agora que sabemos que o mínimo ocorre em $ x = 2 $, vamos calcular o valor de $ f(2) $:
x = 2
Portanto, o valor mínimo é f(2) e ocorre quando $ x = 2 $.

Passo 5

Em seguida, devemos verificar os valores da função nas extremidades do intervalo [1, 4] para encontrar o valor máximo. Vamos calcular $ f(1) $ e $ f(4) $:
Para $ x = 1 $:
f(1)
Para $ x = 4 $:
f(4)

Resposta

No intervalo [1, 4], a função $ f(x) = x^{2} - 4x + 3 $ atinge o valor mínimo de f(x) = x^2 - 4x + 3 em $ x = 2 $ e o valor máximo de -1 em $ x = 4 $.

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