84- Um pêndulo matemático pendurado por um fio de comprimento
, realiza oscilações (
com amplitude igual a 2 cm . Escrever a equação que descreve a dependência do desvio com o tempo, da velocidade e da aceleração deste pêndulo.
.
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva as equações do desvio (posição), da velocidade e da aceleração de um pêndulo. Dados fornecidos pelo enunciado:
- comprimento do fio:
; - movimento descrito por
; - amplitude:
(isto é, ); - preciso fornecer as expressões
, e .
Passo 2
Primeiro passo prático: converter a amplitude para o SI (metros).
Amplitude:
Amplitude:
Também preciso do valor da aceleração da gravidade para calcular a frequência angular do pêndulo; vou usar
(valor padrão).
Passo 3
Explicação física rápida (por que eu uso
): para pequenas oscilações o ângulo
do pêndulo satisfaz a aproximação
, e a equação do movimento linearizada fica análoga à de um oscilador harmônico simples, com frequência angular
Calculo numérico:
Posso arredondar para duas casas significativas como
ou para uma casa como
dependendo da precisão exigida na prova. Vou manter
nos cálculos intermediários e explicar o arredondamento final.
Passo 4
Equação do desvio (posição) no tempo: a forma geral dada é
. Substituindo os valores:
Explicando: aqui
está em metros,
em segundos,
é a amplitude e
em rad/s multiplica
(o argumento do cosseno é adimensional).
Passo 5
Velocidade: é a derivada temporal de
. Vou mostrar a fórmula e o cálculo passo a passo.
- Fórmula geral para velocidade em movimento harmônico simples:
- Substituindo números:
Arredondando sensivelmente (duas casas decimais) fica
ou, se quiser arredondar mais grosseiramente,
. Mantendo mais dígitos:
Passo 6
Aceleração: é a derivada temporal da velocidade (ou a segunda derivada de
). Novamente, fórmula e cálculo:
- Fórmula geral:
- Cálculo de
:
- Então a amplitude da aceleração é
Logo:
Observação sobre arredondamento: se você preferir usar
(como no gabarito que você mostrou), as expressões ficam numericamente muito próximas:
Ambas as formas são aceitáveis; só mantenha consistência no número de casas na prova. Vai dar tudo certo — respira, você consegue.