84- Um pêndulo matemático pendurado por um fio de comprimento l=0,5 \mathrm{~m}, realiza oscilações ( x= A \cos \omega t) com amplitude igual a 2 cm . Escrever a equação que descreve a dependência do desvio com o tempo, da velocidade e da aceleração deste pêndulo. \boldsymbol{R}: \boldsymbol{x}=\mathbf{0 , 0 2} \boldsymbol{\operatorname { c o s }}(\mathbf{4}, \mathbf{4 t}) \boldsymbol{m} ; \boldsymbol{v}= -0,09 \operatorname{sen}(4,4 t) m / s ; a=-0,396 \cos (4,4 t) m / s^{2}.

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva as equações do desvio (posição), da velocidade e da aceleração de um pêndulo. Dados fornecidos pelo enunciado:
  • comprimento do fio: l=0,5\\ \mathrm{m};
  • movimento descrito por x=A\cos\omega t;
  • amplitude: 2\\ \mathrm{cm} (isto é, A=2\\ \mathrm{cm});
  • preciso fornecer as expressões x(t), v(t) e a(t).

Passo 2

Primeiro passo prático: converter a amplitude para o SI (metros).
Amplitude:
A = 2\\ \mathrm{cm} = 0,02\\ \mathrm{m}.
Também preciso do valor da aceleração da gravidade para calcular a frequência angular do pêndulo; vou usar g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor padrão).

Passo 3

Explicação física rápida (por que eu uso \omega=\sqrt{g/l}): para pequenas oscilações o ângulo \theta do pêndulo satisfaz a aproximação \sin\theta\approx\theta, e a equação do movimento linearizada fica análoga à de um oscilador harmônico simples, com frequência angular
\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}.
Calculo numérico:
\omega=\sqrt{\frac{9,8}{0,5}}=\sqrt{19,6}=4,427\ldots\\ \mathrm{rad/s}.
Posso arredondar para duas casas significativas como \omega\approx4,43\\ \mathrm{rad/s} ou para uma casa como \omega\approx4,4\\ \mathrm{rad/s} dependendo da precisão exigida na prova. Vou manter \omega\approx4,427\\ \mathrm{rad/s} nos cálculos intermediários e explicar o arredondamento final.

Passo 4

Equação do desvio (posição) no tempo: a forma geral dada é x(t)=A\cos(\omega t). Substituindo os valores:
x(t)=0,02\cos\bigl(4,427\,t\bigr)\\ \mathrm{m}.
Explicando: aqui x(t) está em metros, t em segundos, A=0,02\\ \mathrm{m} é a amplitude e \omega em rad/s multiplica t (o argumento do cosseno é adimensional).

Passo 5

Velocidade: é a derivada temporal de x(t). Vou mostrar a fórmula e o cálculo passo a passo.
  • Fórmula geral para velocidade em movimento harmônico simples:
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t).
  • Substituindo números:
A\omega = 0,02\cdot 4,427 = 0,08854\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando sensivelmente (duas casas decimais) fica 0,089\\ \mathrm{m/s} ou, se quiser arredondar mais grosseiramente, 0,09\\ \mathrm{m/s}. Mantendo mais dígitos:
v(t)=-0,08854\sin\bigl(4,427\,t\bigr)\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Aceleração: é a derivada temporal da velocidade (ou a segunda derivada de x). Novamente, fórmula e cálculo:
  • Fórmula geral:
a(t)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-A\omega^{2}\cos(\omega t).
  • Cálculo de \omega^{2}:
\omega^{2}=\frac{g}{l}=\frac{9,8}{0,5}=19,6\\ \mathrm{s^{-2}}.
  • Então a amplitude da aceleração é
A\omega^{2}=0,02\cdot 19,6=0,392\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Logo:
a(t)=-0,392\cos\bigl(4,427\,t\bigr)\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Observação sobre arredondamento: se você preferir usar \omega\approx4,4\\ \mathrm{rad/s} (como no gabarito que você mostrou), as expressões ficam numericamente muito próximas:
x(t)=0,02\cos(4,4\,t)\\ \mathrm{m},\quad v(t)=-0,089\sin(4,4\,t)\\ \mathrm{m/s},\quad a(t)=-0,392\cos(4,4\,t)\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Ambas as formas são aceitáveis; só mantenha consistência no número de casas na prova. Vai dar tudo certo — respira, você consegue.

Resposta

x(t)=0,02\cos\bigl(4,427\,t\bigr)\\ \mathrm{m}
v(t)=-0,08854\sin\bigl(4,427\,t\bigr)\\ \mathrm{m/s}
a(t)=-0,392\cos\bigl(4,427\,t\bigr)\\ \mathrm{m/s^{2}}

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