[2,0 pontos] Uma casca esférica maciça de permissividade \varepsilon e imersa no ar, com raio interno a e raio externo b, possui uma carga Q uniformemente distribuída. Determine a densidade de fluxo elétrico e campo elétrico para r<a, a \leq r \leq b e r>b. (Considere que centro da esfera coincide com centro do sistema de coordenadas adotado.)
O enunciado dá uma casca esférica maciça (material com permissividade \varepsilon) que ocupa a região a\le r\le b. O centro coincide com a origem. Há uma carga total Q uniformemente distribuída no volume da casca (ou seja, distribuição volumétrica entre r=a e r=b). A casca está imersa no ar (permissividade do ar \varepsilon_{0}).
O que o problema pede:
Determinar a densidade de fluxo elétrico \hat{\mathbf{D}}(r) para as três regiões: r<a, a\le r\le b e r>b.
Determinar o campo elétrico \hat{\mathbf{E}}(r) para as mesmas três regiões.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Total de carga contida na casca: Q.
Cargas distribuídas uniformemente no volume entre r=a e r=b.
Permissividade do material da casca: \varepsilon.
Meio externo (região interna do vazio e região externa ao casca) é ar com permissividade \varepsilon_{0}.
Simetria esférica (o problema é radial).
Passo 2
Princípio que vamos usar: a lei de Gauss para \hat{\mathbf{D}}. A forma integral é
onde Q_{\text{enc}} é a carga total livre encerrada pela superfície fechada S. Para uma superfície esférica de raio r centrada na origem, por simetria \hat{\mathbf{D}} é radial e tem módulo dependente só de r. Assim, para uma esfera de raio r,
Para r<a: a superfície de raio r está inteiramente no interior do vazio (cavidade), não engloba nenhuma carga da casca. Portanto
Q_{\text{enc}}(r)=0\quad\text{se }r<a.
Para a\le r\le b: a superfície de raio r engloba a parte da casca desde r=a até r. A carga encerrada é a densidade \rho_{v} vezes o volume entre a e r:
Observação rápida de consistência: avaliando o caso r=b na expressão do intervalo médio dá \hat{\mathbf{D}}(b)=Q/(4\pi b^{2}), que casa com a expressão externa — portanto \hat{\mathbf{D}} é contínuo na superfície externa (sem carga livre de superfície extra).
Passo 6
Relação entre \hat{\mathbf{D}} e \hat{\mathbf{E}}. Para meios lineares homogêneos isotrópicos vale localmente