[2,0 pontos] Uma casca esférica maciça de permissividade \varepsilon e imersa no ar, com raio interno a e raio externo b, possui uma carga Q uniformemente distribuída. Determine a densidade de fluxo elétrico e campo elétrico para r<a, a \leq r \leq b e r>b. (Considere que centro da esfera coincide com centro do sistema de coordenadas adotado.)
\begin{aligned} & \text { Formulas: } \\\ & \qquad \varepsilon_{0} \approx 8.854 \times 10^{-12} \approx \frac{1}{36 \pi} \times 10^{-9} \mathrm{~F} / \mathrm{m} ; \quad \mu_{0} \approx 400 \pi \times 10^{-9} \mathrm{H} / \mathrm{m}, \quad \sin ^{2} \theta=\frac{1-\cos (2 \theta)}{2} ; \quad \cos ^{2} \theta=\frac{1+\cos (2 \theta)}{2} \\\ & \int \frac{d u}{u^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{u+a}{u-a}\right|+c, \int \frac{u d u}{\left(u^{2} \pm a^{2}\right)^{1 / 2}}=\frac{1}{\sqrt{u^{2} \pm a^{2}}}+c, \int \frac{d u}{\sqrt{u^{2} \pm a^{2}}}=\ln \left|u+\sqrt{u^{2} \pm a^{2}}\right|+c ; \int \frac{d u}{u^{2}+a^{2}}=-\frac{1}{a} \operatorname{tg}^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+c ; \int \frac{d u}{\left(u^{2} \pm a^{2}\right)^{1 / 2}}=\frac{u}{ \pm a^{2} \sqrt{u^{2} \pm a^{2}}} \\\ & \left.\int \frac{1}{\left(a^{2}+x^{2}\right) \sqrt{x^{2}+a^{2}+b^{2}}} d x=\frac{\tan ^{-1}\left(\frac{b x}{a \sqrt{a^{2}+b^{2}+x^{2}}}\right)}{a b}+c \sqrt{\frac{x \sqrt{b^{2}-a^{2}}}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}}\right) \\\ & \oiint \hat{\mathbf{D}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{S}}=Q_{\text {enci }} \overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{Q}{\left(a^{2}+x^{2}\right) \sqrt{x^{2}+b^{2}}} d x=\frac{\tan ^{-1}}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \hat{\mathbf{a}}_{r}=\int \frac{\rho_{1} d l}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \hat{\mathbf{a}}_{r}=\iint \frac{\rho_{s} d S}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \hat{\mathbf{a}}_{r}=\iiint \frac{\rho_{v} d v}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \hat{\mathbf{a}}_{r}=\frac{\overrightarrow{\mathbf{F}}}{q^{2}} ; \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá uma casca esférica maciça (material com permissividade \varepsilon) que ocupa a região a\le r\le b. O centro coincide com a origem. Há uma carga total Q uniformemente distribuída no volume da casca (ou seja, distribuição volumétrica entre r=a e r=b). A casca está imersa no ar (permissividade do ar \varepsilon_{0}).
O que o problema pede:
  • Determinar a densidade de fluxo elétrico \hat{\mathbf{D}}(r) para as três regiões: r<a, a\le r\le b e r>b.
  • Determinar o campo elétrico \hat{\mathbf{E}}(r) para as mesmas três regiões.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Total de carga contida na casca: Q.
  • Cargas distribuídas uniformemente no volume entre r=a e r=b.
  • Permissividade do material da casca: \varepsilon.
  • Meio externo (região interna do vazio e região externa ao casca) é ar com permissividade \varepsilon_{0}.
  • Simetria esférica (o problema é radial).

Passo 2

Princípio que vamos usar: a lei de Gauss para \hat{\mathbf{D}}. A forma integral é
\oiint_{S} \hat{\mathbf{D}}\cdot d\mathbf{S} = Q_{\text{enc}},
onde Q_{\text{enc}} é a carga total livre encerrada pela superfície fechada S. Para uma superfície esférica de raio r centrada na origem, por simetria \hat{\mathbf{D}} é radial e tem módulo dependente só de r. Assim, para uma esfera de raio r,
\hat{\mathbf{D}}(r)=D_r(r)\,\hat{\mathbf{a}}_{r},\qquad \oiint_{S} \hat{\mathbf{D}}\cdot d\mathbf{S}=D_r(r)\,4\pi r^{2}.
Logo
D_r(r)=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{4\pi r^{2}}.
Então o problema reduz a calcular Q_{\text{enc}}(r) para cada região.

Passo 3

Calcular a densidade volumétrica de carga (constante dentro da casca). O volume da casca é
V_{\text{casca}}=\frac{4}{3}\pi\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr).
Como a carga total é Q uniformemente distribuída, a densidade volumétrica é
\rho_{v}=\frac{Q}{V_{\text{casca}}}=\frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr)}=\frac{3Q}{4\pi\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr)}.

Passo 4

Agora o Q_{\text{enc}}(r) em cada região:
  • Para r<a: a superfície de raio r está inteiramente no interior do vazio (cavidade), não engloba nenhuma carga da casca. Portanto
Q_{\text{enc}}(r)=0\quad\text{se }r<a.
  • Para a\le r\le b: a superfície de raio r engloba a parte da casca desde r=a até r. A carga encerrada é a densidade \rho_{v} vezes o volume entre a e r:
Q_{\text{enc}}(r)=\rho_{v}\,\frac{4}{3}\pi\bigl(r^{3}-a^{3}\bigr).
Substituindo \rho_{v} simplifica-se muito:
Q_{\text{enc}}(r)=\frac{3Q}{4\pi\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr)}\cdot\frac{4}{3}\pi\bigl(r^{3}-a^{3}\bigr) =Q\cdot\frac{r^{3}-a^{3}}{b^{3}-a^{3}}.
  • Para r>b: a superfície engloba toda a casca, portanto
Q_{\text{enc}}(r)=Q\quad\text{se }r>b.

Passo 5

Usando D_r(r)=Q_{\text{enc}}(r)/(4\pi r^{2}) e a direção radial, obtemos \hat{\mathbf{D}}(r) em cada região:
  • Para r<a:
\hat{\mathbf{D}}(r)=\mathbf{0}\qquad(\text{pois }Q_{\text{enc}}=0).
  • Para a\le r\le b:
\hat{\mathbf{D}}(r)=\frac{Q\bigl(r^{3}-a^{3}\bigr)}{4\pi\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr)\,r^{2}}\;\hat{\mathbf{a}}_{r}.
  • Para r>b:
\hat{\mathbf{D}}(r)=\frac{Q}{4\pi r^{2}}\;\hat{\mathbf{a}}_{r}.
Observação rápida de consistência: avaliando o caso r=b na expressão do intervalo médio dá \hat{\mathbf{D}}(b)=Q/(4\pi b^{2}), que casa com a expressão externa — portanto \hat{\mathbf{D}} é contínuo na superfície externa (sem carga livre de superfície extra).

Passo 6

Relação entre \hat{\mathbf{D}} e \hat{\mathbf{E}}. Para meios lineares homogêneos isotrópicos vale localmente
\hat{\mathbf{D}}=\varepsilon\,\hat{\mathbf{E}}
no material da casca e
\hat{\mathbf{D}}=\varepsilon_{0}\,\hat{\mathbf{E}}
no ar (vacuo/ar). Assim:
  • Na cavidade (ar) r<a: já que \hat{\mathbf{D}}=\mathbf{0}, segue
\hat{\mathbf{E}}(r)=\mathbf{0}\quad\text{para }r<a.
  • No material da casca a\le r\le b: \hat{\mathbf{E}}(r)=\hat{\mathbf{D}}(r)/\varepsilon. Substituindo a expressão de \hat{\mathbf{D}},
\hat{\mathbf{E}}(r) =\frac{Q\bigl(r^{3}-a^{3}\bigr)}{4\pi\varepsilon\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr)\,r^{2}}\;\hat{\mathbf{a}}_{r} \qquad\text{para }a\le r\le b.
  • No ar exterior r>b: \hat{\mathbf{E}}(r)=\hat{\mathbf{D}}(r)/\varepsilon_{0}, então
\hat{\mathbf{E}}(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}\;\hat{\mathbf{a}}_{r} \qquad\text{para }r>b.
Comentário físico curto: para r\gg b o campo se reduz ao campo de uma carga pontual Q no ar, como esperado.

Resposta

\displaystyle \hat{\mathbf{D}}(r)=\mathbf{0},\qquad r<a\n
\displaystyle \hat{\mathbf{D}}(r)=\frac{Q\bigl(r^{3}-a^{3}\bigr)}{4\pi\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr)\,r^{2}}\;\hat{\mathbf{a}}_{r},\qquad a\le r\le b\n
\displaystyle \hat{\mathbf{D}}(r)=\frac{Q}{4\pi r^{2}}\;\hat{\mathbf{a}}_{r},\qquad r>b\n
\displaystyle \hat{\mathbf{E}}(r)=\mathbf{0},\qquad r<a\n
\displaystyle \hat{\mathbf{E}}(r)=\frac{Q\bigl(r^{3}-a^{3}\bigr)}{4\pi\varepsilon\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr)\,r^{2}}\;\hat{\mathbf{a}}_{r},\qquad a\le r\le b\n
\displaystyle \hat{\mathbf{E}}(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}\;\hat{\mathbf{a}}_{r},\qquad r>b

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