1.83 Considere o triângulo de vértices e . Determine:
(a) Os ângulos do ;
(b) O vetor projeção do menor lado sobre o maior lado;
(c) A área do ;
(d) A altura do triângulo, relativa ao maior lado.
Passo 1
Temos o triângulo com vértices
e precisamos determinar
(a) os seus ângulos internos,
(b) a projeção vetorial do menor lado sobre o maior,
(c) a área,
(d) a altura relativa ao maior lado.
O que vamos usar: cálculo de vetores lado, produto interno para ângulos, projeção vetorial, produto vetorial para área e relação área–base–altura.
Passo 2
Calculemos os vetores correspondentes aos lados e seus comprimentos:
Seus módulos são
Logo o maior lado é (hipotenusa) e os menores têm comprimento .
Passo 3
Para os ângulos usamos
(a.1) No vértice : vetores e têm produto interno zero, logo
(a.2) No vértice : entre e ,
então
(a.3) No vértice : entre e ,
logo
Passo 4
Escolhemos como um dos menores lados e projetamos sobre o maior . A projeção vetorial é
Passo 5
A área do triângulo é
Calculando o produto vetorial, ABtimesAC=(-1,0,0) com norma 1, vem
A=tfrac12cdot1=tfrac12
Passo 6
A altura relativa ao maior lado AC satisfaz
A =tfrac12;|AC|;h Longrightarrow h=2, A|AC| =2cdottfrac12raiz2 =1raiz2