1.83 Considere o triângulo de vértices A(3,2,1), B(3,2,2) e C(3,3,2). Determine:
(a) Os ângulos do triang<= A B C;
(b) O vetor projeção do menor lado sobre o maior lado;
(c) A área do triang<= A B C;
(d) A altura do triângulo, relativa ao maior lado.

Passo 1

Temos o triângulo com vértices
A(3,2,1), B(3,2,2), C(3,3,2),
e precisamos determinar
(a) os seus ângulos internos,
(b) a projeção vetorial do menor lado sobre o maior,
(c) a área,
(d) a altura relativa ao maior lado.
O que vamos usar: cálculo de vetores lado, produto interno para ângulos, projeção vetorial, produto vetorial para área e relação área–base–altura.

Passo 2

Calculemos os vetores correspondentes aos lados e seus comprimentos:
AB=B-A=(0,0,1), AC=C-A=(0,1,1), BC=C-B=(0,1,0)
Seus módulos são
|AB|=1, |BC|=1, |AC|=raiz0^2+1^2+1^2=raiz2
Logo o maior lado é AC (hipotenusa) e os menores têm comprimento 1.

Passo 3

Para os ângulos usamos
costheta=ucdotv|u||v|
(a.1) No vértice B: vetores BA=-AB=(0,0,-1) e BC=(0,1,0) têm produto interno zero, logo
ang<= B = 90^circ
(a.2) No vértice A: entre AB=(0,0,1) e AC=(0,1,1),
ABcdotAC=1, |AB|,|AC|=1cdotraiz2,
então
ang<= A = arccos!l(tfrac1raiz2r)=45^circ
(a.3) No vértice C: entre CB=-BC=(0,-1,0) e CA=-AC=(0,-1,-1),
CBcdotCA=1, |CB|,|CA|=1cdotraiz2,
logo
ang<= C=45^circ

Passo 4

Escolhemos AB como um dos menores lados e projetamos sobre o maior AC. A projeção vetorial é
projACAB =ABcdotAC|AC|^2,AC =12,(0,1,1) =(0,tfrac12,tfrac12)

Passo 5

A área do triângulo é
A =tfrac12,l|ABtimesACr|
Calculando o produto vetorial, ABtimesAC=(-1,0,0) com norma 1, vem
A=tfrac12cdot1=tfrac12

Passo 6

A altura relativa ao maior lado AC satisfaz
A =tfrac12;|AC|;h Longrightarrow h=2, A|AC| =2cdottfrac12raiz2 =1raiz2

Resposta

(a) ang<= A=45^circ, ang<= B=90^circ, ang<= C=45^circ.
(b) projAC(AB)=(0,tfrac12,tfrac12).
(c) A=tfrac12.
(d) h=tfrac1raiz2.

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