Exercício 9. (Inspirado no livro do Folland: Fourier Analysis and Applications, capítulo 7) Podemos usar a transformada parcial de Fourier para resolver as equações de Poisson, Onda e Calor no semiplano. O objetivo a seguir é fazer as contas formalmente, ou seja, não justificaremos quais espaços de funções e distribuições estamos trabalhando (embora isto seja possível)
Seja uma solução de
Aplicando a transformada de Fourier em (e denotando-a por e ), obtenha
Resolvendo a equação em , conclua que
Calculando a transformada de Fourier inversa em (e usando que leva produto em convolução), conclua que

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação do calor
partial upartial t(t,x) - De<a u(t,x) = 0
em ]0,infty[times R^n com condição inicial u(0,x)=f(x). O conteúdo é usar a transformada de Fourier em x para converter a PDE numa ODE em t.

Passo 2

Aplicando a transformada de Fourier espacial Fx em ambos os lados da equação e lembrando que
Fxl(De<a u(t,x)r)(xi) = -|xi|^2,hat u(t,xi),
obtemos
partial hat upartial t(t,xi) + |xi|^2,hat u(t,xi) = 0,
com a condição inicial hat u(0,xi)=hat f(xi).

Passo 3

A equação
ddthat u(t,xi) + |xi|^2,hat u(t,xi)=0
é uma ODE linear de primeira ordem em t. Resolvendo por separação de variáveis, chega-se a
hat u(t,xi) = hat f(xi),e^-t|xi|^2

Passo 4

Voltando ao espaço físico, invertemos a transformada em x:
u(t,x) = Fx^-1l(hat f(xi),e^-t|xi|^2r)(x) = l(Fx^-1[e^-t|xi|^2]ast fr)(x)
Sabe-se que
Fx^-1[e^-t|xi|^2](x) = 1(4pi t)^ n2,e^-|x|^24t
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u(t,x) = 1(4pi t)^ n2integralR^n e^-|x-y|^24t,f(y),dy

Resposta

u(t,x) = 1(4pi t)^ n2 integralR^n e^-|x-y|^24t,f(y),dy

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