Exercício 9. (Inspirado no livro do Folland: Fourier Analysis and Applications, capítulo 7) Podemos usar a transformada parcial de Fourier para resolver as equações de Poisson, Onda e Calor no semiplano. O objetivo a seguir é fazer as contas formalmente, ou seja, não justificaremos quais espaços de funções e distribuições estamos trabalhando (embora isto seja possível)
Seja
uma solução de
Aplicando a transformada de Fourier em
(e denotando-a por
e
), obtenha
Resolvendo a equação em
, conclua que
Calculando a transformada de Fourier inversa em
(e usando que
leva produto em convolução), conclua que
Seja
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação do calor
em
com condição inicial
. O conteúdo é usar a transformada de Fourier em
para converter a PDE numa ODE em
.
Passo 2
Aplicando a transformada de Fourier espacial
em ambos os lados da equação e lembrando que
obtemos
com a condição inicial
.
Passo 3
A equação
é uma ODE linear de primeira ordem em
. Resolvendo por separação de variáveis, chega-se a
Passo 4
Voltando ao espaço físico, invertemos a transformada em
:
Sabe-se que
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