Exercício 7. (D.K. ex. 17.2) (Solução Fundamental da Equação do Calor) Seja
.
a) Prove que uma solução fundamental do operador diferencial
é dada por
, em que
é a função de Heaviside.
b) Considere o operador diferencial da equação do calor
. Uma forma de achar a solução fundamental é aplicando a transformada de Fourier nas coordenadas espaciais. Assim, se
mostre que aplicando a Transformada de Fourier apenas na variável
, e denotando esta transformada por
, obtemos
Ache uma solução de
usando item
) e, aplicando a transformada de Fourier inversa em
, mostre que (uma das) soluções fundamentais é
(Para detalhes sobre transformada parcial de Fourier, consulte o livo de J. Hounie)
a) Prove que uma solução fundamental do operador diferencial
b) Considere o operador diferencial da equação do calor
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) mostrar que
é solução fundamental do operador
, ou seja,
;
(b) usar transformada de Fourier em para resolver
(b) usar transformada de Fourier em
e obter a solução fundamental do calor
Conteúdo necessário: propriedades de convolução com Heaviside, transformada de Fourier parcial, resolução de EDO com fonte delta e integral gaussiana.
Passo 2
Definimos
. Calculamos
Logo
Como
“enxerga” apenas
, temos
. Assim
isto é,
é solução fundamental de
.
Passo 3
Agora consideramos
Fazendo transformada de Fourier em
(denotada por
), usa-se
e
, resultando em
Isto é uma EDO em
com parâmetro
.
Passo 4
A EDO
é exatamente do tipo
com
. Pelo Passo 2, sua solução fundamental é
Passo 5
Para voltar a
, aplicamos a transformada inversa em
:
Usando a integral gaussiana conhecida
obtemos