Exercício 7. (D.K. ex. 17.2) (Solução Fundamental da Equação do Calor) Seja a in R.
a) Prove que uma solução fundamental do operador diferencial partial+a I é dada por e^-a x H(x), em que H é a função de Heaviside.
b) Considere o operador diferencial da equação do calor P(D)=partialpartial t-De<a. Uma forma de achar a solução fundamental é aplicando a transformada de Fourier nas coordenadas espaciais. Assim, se
partial upartial t-De<a u=de<a0
mostre que aplicando a Transformada de Fourier apenas na variável x, e denotando esta transformada por u, obtemos
partial upartial t(t, xi)+|xi|^2 u(t, xi)=de<a(t)
Ache uma solução de u(t, xi) usando item a ) e, aplicando a transformada de Fourier inversa em xi, mostre que (uma das) soluções fundamentais é
u(t, x)=H(t)(4 pi t)^n2 e^-|x|^24 t
(Para detalhes sobre transformada parcial de Fourier, consulte o livo de J. Hounie)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) mostrar que
S(x)=e^-a xH(x)
é solução fundamental do operador partialx + aI, ou seja, (partialx + a)S=de<a;
(b) usar transformada de Fourier em x para resolver
partial upartial t-De<a u=de<a(t)otimesde<a(x)
e obter a solução fundamental do calor
u(t,x)=H(t)(4pi t)^ n2,e^-|x|^24t
Conteúdo necessário: propriedades de convolução com Heaviside, transformada de Fourier parcial, resolução de EDO com fonte delta e integral gaussiana.

Passo 2

Definimos S(x)=e^-a xH(x). Calculamos
partialx S(x) =ddxl(e^-a xH(x)r) =e^-a xde<a(x);+;(-a)e^-a xH(x)
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(partialx + a)S(x) =e^-a xde<a(x)-a,e^-a xH(x)+a,e^-a xH(x) =e^-a xde<a(x)
Como de<a(x) “enxerga” apenas x=0, temos e^-acdot0de<a(x)=de<a(x). Assim
(partialx + a)S(x)=de<a(x),
isto é, S é solução fundamental de partialx+aI.

Passo 3

Agora consideramos
partial upartial t-De<ax u=de<a(t)otimesde<a(x)
Fazendo transformada de Fourier em x (denotada por widehatcdot), usa-se
widehatDe<ax u=-|xi|^2hat u e widehatde<a(x)=1, resultando em
partial hat upartial t(t,xi)+|xi|^2,hat u(t,xi) =de<a(t)
Isto é uma EDO em t com parâmetro xi.

Passo 4

A EDO
dhat udt+|xi|^2,hat u=de<a(t)
é exatamente do tipo partialt f + a f=de<a com a=|xi|^2. Pelo Passo 2, sua solução fundamental é
hat u(t,xi)=e^-|xi|^2 t,H(t)

Passo 5

Para voltar a u(t,x), aplicamos a transformada inversa em xi:
u(t,x) =(2pi)^-nintegral R^ne^i xcdotxi,hat u(t,xi),dxi =H(t)(2pi)^nintegral R^ne^i xcdotxi-t|xi|^2,dxi
Usando a integral gaussiana conhecida
integral R^ne^i xcdotxi-t|xi|^2,dxi =(pi/t)^ n2e^-|x|^24t,
obtemos
u(t,x) =H(t),1(2pi)^n(pi/t)^ n2e^-|x|^24t =H(t)(4pi t)^ n2,e^-|x|^24t

Resposta

u(t,x)=H(t)(4pi t)^ n2,e^-|x|^24t

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