Exercício 9. (Inspirado no livro do Folland: Fourier Analysis and Applications, capítulo 7) Podemos usar a transformada parcial de Fourier para resolver as equações de Poisson, Onda e Calor no semiplano. O objetivo a seguir é fazer as contas formalmente, ou seja, não justificaremos quais espaços de funções e distribuições estamos trabalhando (embora isto seja possível)
Seja
uma solução de
Aplicando a transformada de Fourier em
(e denotando-a por
e
), obtenha
Resolvendo a equação em
, conclua que
Observação: Em uma dimensão, podemos calcular a transformada inversa da expressão acima e obter a fórmula de D’Alambert. (Ver Folland)
Seja
Passo 1
O enunciado trata da equação de onda
com
. Queremos aplicar a transformada de Fourier em
para reduzir a equação a uma EDO em
e depois resolver essa EDO para cada frequência
.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier espacial
Como a transformada em
comuta com derivadas em
, vale
Logo, aplicando
à PDE obtemos a EDO em
:
Passo 3
As condições iniciais também se transformam em
Passo 4
Para cada
fixo, a EDO
tem solução geral
Impondo
. Por outro lado,
portanto em
vem
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, concluímos