Exercício 9. (Inspirado no livro do Folland: Fourier Analysis and Applications, capítulo 7) Podemos usar a transformada parcial de Fourier para resolver as equações de Poisson, Onda e Calor no semiplano. O objetivo a seguir é fazer as contas formalmente, ou seja, não justificaremos quais espaços de funções e distribuições estamos trabalhando (embora isto seja possível)
Seja uma solução de
Aplicando a transformada de Fourier em (e denotando-a por e ), obtenha
Resolvendo a equação em , conclua que
Observação: Em uma dimensão, podemos calcular a transformada inversa da expressão acima e obter a fórmula de D’Alambert. (Ver Folland)

Passo 1

O enunciado trata da equação de onda
partial^2upartial t^2(t,x)-De<a u(t,x)=0, u(0,x)=f(x),;partial upartial t(0,x)=g(x),
com (t,x)in]0,infty[timesR^n. Queremos aplicar a transformada de Fourier em x para reduzir a equação a uma EDO em t e depois resolver essa EDO para cada frequência xi.

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier espacial
hat u(t,xi)=integralR^nu(t,x),e^-ixicdot x,dx
Como a transformada em x comuta com derivadas em t, vale
Fxl(partialt^2ur)=partialt^2hat u e Fxl(De<a ur)=-|xi|^2hat u
Logo, aplicando Fx à PDE obtemos a EDO em hat u:
partialt^2hat u(t,xi)+|xi|^2,hat u(t,xi)=0

Passo 3

As condições iniciais também se transformam em
hat u(0,xi)=hat f(xi), partialthat u(0,xi)=hat g(xi)

Passo 4

Para cada xi fixo, a EDO
partialt^2hat u+|xi|^2hat u=0
tem solução geral
hat u(t,xi)=A(xi)cosl(|xi|tr)+B(xi)sinl(|xi|tr)
Impondo hat u(0,xi)=A(xi)=hat f(xi). Por outro lado,
partialthat u(t,xi) =-A(xi),|xi|sinl(|xi|tr) +B(xi),|xi|cosl(|xi|tr),
portanto em t=0 vem
partialthat u(0,xi)=B(xi),|xi|=hat g(xi) ;Longrightarrow; B(xi)=hat g(xi)|xi|

Passo 5

Substituindo A(xi) e B(xi) na solução geral, concluímos
hat u(t,xi) =hat f(xi)cosl(|xi|tr) +hat g(xi),sinl(|xi|tr)|xi|

Resposta

u(t,xi) =f(xi)cosl(t|xi|r) +g(xi),sinl(t|xi|r)|xi|

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