A/83 Os momentos e produto de inércia de uma área em relação aos eixos x-y são I_{x}=7 \mathrm{~m}^{4}, I_{y}=12 \mathrm{~m}^{4} e I_{x y}=6 \mathrm{~m}^{4}. Construa o círculo de Mohr de inércia e utilize-o para determinar os momentos de inércia principais e o ângulo \alpha do eixo x até o eixo de momento de inércia máximo.
\begin{aligned} & \text { Resp. } I_{\max }=16 \mathrm{~m}^{4}, I_{\min }=3 \mathrm{~m}^{4} \\\ & \quad \alpha=56,3^{\circ} \text { no sentido horário } \end{aligned}á

Passo 1

O enunciado dá os momentos de inércia em relação aos eixos x e y:
I_{x}=7,\quad I_{y}=12,\quad I_{xy}=6
Precisamos construir o círculo de Mohr de inércia para encontrar os momentos principais I_{\max}, I_{\min} e o ângulo \alpha entre o eixo x e o eixo de momento de inércia máximo.

Passo 2

O centro C do círculo de Mohr e o raio R são dados por
C=\frac{I_{x}+I_{y}}{2},\qquad R=\sqrt{\Bigl(\frac{I_{x}-I_{y}}{2}\Bigr)^{2}+I_{xy}^{2}}.
Substituindo,
C=\frac{7+12}{2}=9{,}5, \qquad R=\sqrt{\bigl(\tfrac{7-12}{2}\bigr)^{2}+6^{2}} =\sqrt{(-2{,}5)^{2}+36} =\sqrt{6{,}25+36} =6{,}5.

Passo 3

Os momentos principais são
I_{\max}=C+R=9{,}5+6{,}5=16, \qquad I_{\min}=C-R=9{,}5-6{,}5=3.

Passo 4

O ângulo duplo satisfaz
\tan(2\theta)=\frac{2\,I_{xy}}{I_{x}-I_{y}} =\frac{2\cdot6}{7-12} =\frac{12}{-5}=-2{,}4.
Como I_{xy}>0 e I_{x}-I_{y}<0, o ângulo 2\theta fica no segundo quadrante:
2\theta=180^\circ-\arctan(2{,}4) =180^\circ-67{,}38^\circ =112{,}62^\circ,
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\theta=\tfrac{112{,}62^\circ}{2}=56{,}31^\circ.
Esse \theta é o ângulo positivo no sentido anti-horário, portanto no sentido horário
\alpha=56{,}3^\circ dá a direção do momento de inércia máximo.

Resposta

I_{\max}=16\\ \mathrm{m}^{4},\quad I_{\min}=3\\ \mathrm{m}^{4}
\alpha=56{,}3^\circ no sentido horário

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