A/65 Determine os produtos de inércia da área do anel de quarto de círculo em relação aos eixos x-y e aos eixos x_{0}-y_{0} que passam pelo centróide C do anel. Trate o caso em que b é pequeno comparado com r.
\begin{aligned} \text { Resp. } I_{x y} & =\frac{1}{2} r^{3} b \\\ I_{x_{0} y_{0}} & =\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{\pi}\right) r^{3} b \end{aligned}

Passo 1

Temos um anel de quarto de círculo de raio médio r e espessura radial b\ll r. Queremos os produtos de inércia da área em relação aos eixos originais x\!-\!y (origem no centro do círculo) e em relação aos eixos x_{0}\!-\!y_{0} que passam pelo centróide C. Para isso usaremos coordenadas polares e, depois, o teorema dos eixos paralelos para produto de inércia.

Passo 2

Em coordenadas polares, cada ponto da área satisfaz
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta,
e o produto de inércia em relação a x\!y é
I_{xy}=\iint_A x\,y\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi/2}\!\int_{r}^{\,r+b} (r\cos\theta)(r\sin\theta)\,(r\,dr\,d\theta).

Passo 3

Como b\ll r, aproximamos
\int_{r}^{\,r+b}r^3\,dr \approx r^3\,b.
Logo
I_{xy}\approx r^3\,b \int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,\sin\theta\,d\theta.

Passo 4

Calculamos a integral angular
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,\sin\theta\,d\theta =\frac12,
de modo que
I_{xy}=\frac12\,r^3\,b.

Passo 5

O centróide C do anel fino fica em
x_C=\frac{1}{A}\iint x\,dA =\frac{b\,r^2\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta}{A} =\frac{r^2\,b\cdot1}{(\pi/2)\,r\,b} =\frac{2r}{\pi},
e simetricamente y_C=2r/\pi. A área vale A=(\pi/2)\,r\,b.

Passo 6

Pelo teorema dos eixos paralelos para produto de inércia:
I_{x_{0}y_{0}} =I_{xy}-A\,x_C\,y_C =\frac12\,r^3\,b -\bigl((\tfrac\pi2)r\,b\bigr)\,\frac{2r}{\pi}\,\frac{2r}{\pi} =\Bigl(\frac12-\frac{2}{\pi}\Bigr)r^3\,b.

Resposta

I_{xy}=\tfrac12\,r^3\,b
I_{x_{0}y_{0}}=\Bigl(\tfrac12-\tfrac{2}{\pi}\Bigr)r^3\,b

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