A/65 Determine os produtos de inércia da área do anel de quarto de círculo em relação aos eixos
e aos eixos
que passam pelo centróide
do anel. Trate o caso em que
é pequeno comparado com
.
Passo 1
Temos um anel de quarto de círculo de raio médio
e espessura radial
. Queremos os produtos de inércia da área em relação aos eixos originais
(origem no centro do círculo) e em relação aos eixos
que passam pelo centróide
. Para isso usaremos coordenadas polares e, depois, o teorema dos eixos paralelos para produto de inércia.
Passo 2
Em coordenadas polares, cada ponto da área satisfaz
e o produto de inércia em relação a
é
Passo 3
Como
, aproximamos
Logo
Passo 4
Calculamos a integral angular
de modo que
Passo 5
O centróide
do anel fino fica em
e simetricamente
. A área vale
.
Passo 6
Pelo teorema dos eixos paralelos para produto de inércia: