Um feixe de átomos emerge de um forno que está a uma temperatura T. A distribuição das velocidades dos átomos no feixe é proporcional a v^{3} e^{-m v^{3} / k t} (veja a Seção 24-3). (a) Mostre que a distribuição dos comprimentos de onda de De Broglie dos átomos é proporcional a \lambda^{-5} e^{-h^{3} / 2 m t \lambda^{3}}, e (b) que o comprimento de onda de De Broglie mais provável é
\lambda_{D}=\frac{h}{\sqrt{5 m k T}}

Passo 1

O enunciado fala de um feixe de átomos que sai de um forno à temperatura T, cuja distribuição de velocidades no feixe é
f(v)\propto v^3\,e^{-\,\frac{m v^2}{2kT}}.
Queremos (a) transformar essa distribuição em função do comprimento de onda de De Broglie
\lambda=\frac{h}{m\,v},
mostrando que
g(\lambda)\propto \lambda^{-5}\,e^{-\frac{h^2}{2m kT\,\lambda^2}},
e (b) encontrar o valor de \lambda que torna g(\lambda) máximo.

Passo 2

Expressamos v em função de \lambda e calculamos o jacobiano da transformação:
v(\lambda)=\frac{h}{m\,\lambda}, \qquad \frac{dv}{d\lambda}=-\frac{h}{m\,\lambda^2},
portanto \bigl|dv\bigr|=\frac{h}{m\,\lambda^2}\,d\lambda. A distribuição em \lambda satisfaz
g(\lambda)\,d\lambda = f\bigl(v(\lambda)\bigr)\,\bigl|dv\bigr|.

Passo 3

Substituindo v(\lambda) em f(v) e multiplicando pelo jacobiano:
v^3 = \frac{h^3}{m^3\,\lambda^3}, \qquad e^{-\frac{m v^2}{2kT}} = e^{-\frac{m}{2kT}\frac{h^2}{m^2\,\lambda^2}} = e^{-\frac{h^2}{2m kT\,\lambda^2}},
e
\bigl|dv\bigr|=\frac{h}{m\,\lambda^2}\,d\lambda.
Logo
g(\lambda)\propto \frac{h^3}{m^3\,\lambda^3}\;e^{-\frac{h^2}{2m kT\,\lambda^2}} \;\times\;\frac{h}{m\,\lambda^2} = \frac{h^4}{m^4}\,\lambda^{-5}\;e^{-\frac{h^2}{2m kT\,\lambda^2}}.
Como o fator constante não interessa, obtemos
g(\lambda)\propto \lambda^{-5}\,e^{-\frac{h^2}{2m kT\,\lambda^2}}.

Passo 4

Para achar a \lambda mais provável, maximizamos \ln g(\lambda):
\ln g = -5\ln\lambda \;-\;\frac{h^2}{2m kT}\,\lambda^{-2} + \text{const.}
Derivando em relação a \lambda e igualando a zero:
\frac{d}{d\lambda}\ln g =-\frac{5}{\lambda} +\frac{h^2}{m kT}\,\frac{1}{\lambda^3} =0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{h^2}{m kT\,\lambda^3}=\frac{5}{\lambda}
\Longrightarrow\quad \lambda^2=\frac{h^2}{5m kT} \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{h}{\sqrt{5m kT}}.

Resposta

(a) A distribuição de comprimentos de onda é
g(\lambda)\propto \lambda^{-5}\,\exp\!\Bigl(-\tfrac{h^2}{2m kT\,\lambda^2}\Bigr).
(b) O comprimento de onda de De Broglie mais provável é
\lambda_{D}=\frac{h}{\sqrt{5\,m\,k\,T}}.

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