2^{\mathrm{a}} Questão - O Super-Homem possui visão de raios X para \lambda=50 \mathrm{pm} e uma pupila de diâmetro igual a 5,0 \mathrm{~mm}.
(a) Qual deve ser a altitude máxima para ele poder distinguir Lex Luthor de sua amada Louis Lane, supondo que para isso ele precise resolver pontos separados por 5,0 cm.
\theta_{\text {obs }}>\theta_{R} \rightarrow \frac{d_{L L / L L}}{h_{S H}}>1,22 \frac{\lambda}{a} \rightarrow h_{S H}<\frac{a \cdot d_{L L / L L}}{1,22 \cdot \lambda}=4.100 \mathrm{~km}
(b) Para esta mesma distância, qual é a mínima separação alcançada na região visível?
d_{L / I L L}>\frac{1,22 \cdot h_{S H}}{a} \lambda=\frac{1,22 \cdot 4,1 \cdot 10^{3}}{5 \cdot 10^{-3}} \lambda=\left\{\begin{array}{l}400 \rightarrow 400 \mathrm{~m} \\\\ 500 \rightarrow 500 \mathrm{~m} \\\\ 600 \rightarrow 600 \mathrm{~m}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá que o Super-Homem tem visão de raios X com comprimento de onda \lambda=50\,\mathrm{pm}=50\times10^{-12}\,\mathrm{m} e pupila de diâmetro a=5{,}0\,\mathrm{mm}=5\times10^{-3}\,\mathrm{m}. Para distinguir dois pontos separados por d=5{,}0\,\mathrm{cm}=5\times10^{-2}\,\mathrm{m} a uma altitude h, precisamos que o ângulo de resolução observado
\theta_{\text{obs}}\approx\frac{d}{h}
seja maior que o limite de difração de Rayleigh
\theta_{R}=1{,}22\;\frac{\lambda}{a}.

Passo 2

Impondo \theta_{\text{obs}}>\theta_{R} temos
\frac{d}{h}>1{,}22\,\frac{\lambda}{a} \quad\Longrightarrow\quad h<\frac{a\,d}{1{,}22\,\lambda}.
Substituindo a=5\times10^{-3}\,\mathrm{m}, d=5\times10^{-2}\,\mathrm{m} e \lambda=50\times10^{-12}\,\mathrm{m}:
h<\frac{5\times10^{-3}\times5\times10^{-2}}{1{,}22\times50\times10^{-12}} =\frac{2{,}5\times10^{-4}}{61\times10^{-12}} \approx4{,}1\times10^{6}\,\mathrm{m} =4{,}1\times10^{3}\,\mathrm{km}.

Passo 3

Na região visível, a mínima separação angular fica a mesma \theta_{R}=1{,}22\,\lambda/a, mas agora com \lambda variando entre 400\,\mathrm{nm} e 600\,\mathrm{nm}. O correspondente espaçamento linear mínimo é
d_{\min}=h\,\theta_{R} =1{,}22\,\frac{\lambda\,h}{a}.
Usando h=4{,}1\times10^{6}\,\mathrm{m} e a=5\times10^{-3}\,\mathrm{m}:
para \lambda=400\,\mathrm{nm}:
d_{\min}=1{,}22\;\frac{400\times10^{-9}\times4{,}1\times10^{6}}{5\times10^{-3}} \approx400\,\mathrm{m};
para \lambda=500\,\mathrm{nm}:
d_{\min}\approx500\,\mathrm{m};
para \lambda=600\,\mathrm{nm}:
d_{\min}\approx600\,\mathrm{m}.

Resposta

(a) h_{\max} \approx 4{,}1 \times 10^{3} \, \mathrm{km}.
(b) Mínima separação visível:
\bullet 400 , \mathrm{m} (azul, \lambda = 400 \, \mathrm{nm}),
\bullet 500 , \mathrm{m} (verde, \lambda = 500 \, \mathrm{nm}),
\bullet 600 , \mathrm{m} (vermelho, \lambda = 600 \, \mathrm{nm}).

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