3-83E A crane is used to lower weights into a lake for an underwater construction project. Determine the tension in the rope of the crane due to a 3 -ft-diameter spherical steel block (density
=494 \mathrm{lbm} / \mathrm{ft}^{3}
) when it is
completely immersed in water.
=494 \mathrm{lbm} / \mathrm{ft}^{3}
) when it is
completely immersed in water.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a tensão na corda do guindaste quando um bloco esférico de aço de diâmetro
está completamente imerso em água. \n
Informações dadas no enunciado:
Informações dadas no enunciado:
O enunciado diz que o bloco está completamente imerso em água (logo sofre empuxo igual ao peso do volume de água deslocado). Não foi dada a densidade da água no enunciado; usarei o valor padrão para água doce:
Pergunta final: qual é a tensão
na corda (em unidades de força)?
Passo 2
Entendendo as forças envolvidas (aula rápida e prática). Quando um corpo está submerso e preso por uma corda, as forças verticais relevantes são:
- O peso do bloco,
, direcionado para baixo. - O empuxo (força de Arquimedes),
, direcionado para cima, igual ao peso do fluido deslocado.
A tensão na corda,, é a força resultante que deve equilibrar o peso menos o empuxo, portanto:
Vou calcular
e
separadamente. Aqui explico também unidades: a densidade foi dada em
. Em mecânica da engenharia, para obter o peso em lbf usamos a relação
porque o fator
numérico se anula quando usamos
e
. Ou seja, numericamente multiplicamos densidade por volume para obter força em lbf. Não se assuste: é o procedimento padrão em muitos problemas de engenharia.
Passo 3
Calcular o volume da esfera (aula curta). Fórmula do volume de uma esfera:
onde
é o raio da esfera. Aqui o diâmetro é
, então o raio é
Substituindo:
Agora calculo numericamente:
Passo 4
Calcular o peso do bloco (passo a passo). A fórmula para o peso do bloco é
onde
é a densidade do material em
e
o volume em
. Substituindo:
Expliquei antes por que multiplicamos direto: isso nos dá o peso em lbf.
Passo 5
Calcular o empuxo (peso do volume de água deslocado). Pela lei de Arquimedes:
onde
(valor padrão para água doce). Substituindo:
Observação: eu usei o valor padrão
para a densidade da água porque o enunciado não o forneceu.
Passo 6
Calcular a tensão na corda. Usando a relação do Passo 2:
Substituindo os valores numéricos:
Arredondando para uma apresentação com 4 dígitos significativos:
Interpretação física curta: o empuxo reduz bastante a carga que o guindaste precisa sustentar, mas como o bloco de aço é muito mais denso que a água, a tensão continua sendo grande (cerca de
). Você consegue — é só aplicar volume, densidade e a lei de Arquimedes!