3-83E A crane is used to lower weights into a lake for an underwater construction project. Determine the tension in the rope of the crane due to a 3 -ft-diameter spherical steel block (density
=494 \mathrm{lbm} / \mathrm{ft}^{3}
) when it is
completely immersed in water.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a tensão na corda do guindaste quando um bloco esférico de aço de diâmetro 3\\ \text{ft} está completamente imerso em água. \n
Informações dadas no enunciado:
\text{diâmetro do bloco} = 3\\ \text{ft}â
\text{densidade do aço} = 494\\ \text{lbm/ft}^3ç
O enunciado diz que o bloco está completamente imerso em água (logo sofre empuxo igual ao peso do volume de água deslocado). Não foi dada a densidade da água no enunciado; usarei o valor padrão para água doce:
\text{densidade da água} = 62{,}4\\ \text{lbm/ft}^3.á
Pergunta final: qual é a tensão T na corda (em unidades de força)?

Passo 2

Entendendo as forças envolvidas (aula rápida e prática). Quando um corpo está submerso e preso por uma corda, as forças verticais relevantes são:
  1. O peso do bloco, W, direcionado para baixo.
  2. O empuxo (força de Arquimedes), F_b, direcionado para cima, igual ao peso do fluido deslocado.
    A tensão na corda, T, é a força resultante que deve equilibrar o peso menos o empuxo, portanto:
T = W - F_b.
Vou calcular W e F_b separadamente. Aqui explico também unidades: a densidade foi dada em \text{lbm/ft}^3. Em mecânica da engenharia, para obter o peso em lbf usamos a relação
\text{peso (lbf)} = \text{densidade (lbm/ft}^3\text{)} \times \text{volume (ft}^3\text{)},
porque o fator g/g_c numérico se anula quando usamos g=32{,}174\\ \text{ft/s}^2 e g_c=32{,}174\\ \text{(lbm·ft)/(lbf·s}^2\text{)}. Ou seja, numericamente multiplicamos densidade por volume para obter força em lbf. Não se assuste: é o procedimento padrão em muitos problemas de engenharia.

Passo 3

Calcular o volume da esfera (aula curta). Fórmula do volume de uma esfera:
V = \frac{4}{3}\pi r^3,
onde r é o raio da esfera. Aqui o diâmetro é 3\\ \text{ft}, então o raio é
r = \frac{3}{2} = 1{,}5\\ \text{ft}.
Substituindo:
V = \frac{4}{3}\pi (1{,}5)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 3{,}375 = 4{,}5\pi\\ \text{ft}^3.
Agora calculo numericamente:
V = 4{,}5\pi \approx 14{,}137166941\\ \text{ft}^3.

Passo 4

Calcular o peso do bloco (passo a passo). A fórmula para o peso do bloco é
W = \rho_{\text{bloco}}\; V,
onde \rho_{\text{bloco}} é a densidade do material em \text{lbm/ft}^3 e V o volume em \text{ft}^3. Substituindo:
W = 494 \times 14{,}137166941\\ \approx 6983{,}758673\\ \text{lbf}.
Expliquei antes por que multiplicamos direto: isso nos dá o peso em lbf.

Passo 5

Calcular o empuxo (peso do volume de água deslocado). Pela lei de Arquimedes:
F_b = \rho_{\text{água}}\; V,á
onde \rho_{\text{água}} = 62{,}4\\ \text{lbm/ft}^3á (valor padrão para água doce). Substituindo:
F_b = 62{,}4 \times 14{,}137166941 \approx 882{,}158896\\ \text{lbf}.
Observação: eu usei o valor padrão 62{,}4\\ \text{lbm/ft}^3 para a densidade da água porque o enunciado não o forneceu.

Passo 6

Calcular a tensão na corda. Usando a relação do Passo 2:
T = W - F_b.
Substituindo os valores numéricos:
T \approx 6983{,}758673 - 882{,}158896 \approx 6101{,}599777\\ \text{lbf}.
Arredondando para uma apresentação com 4 dígitos significativos:
T \approx 6101{,}6\\ \text{lbf}.
Interpretação física curta: o empuxo reduz bastante a carga que o guindaste precisa sustentar, mas como o bloco de aço é muito mais denso que a água, a tensão continua sendo grande (cerca de 6,1\times 10^3\\ \text{lbf}). Você consegue — é só aplicar volume, densidade e a lei de Arquimedes!

Resposta

T \approx 6101{,}6\\ \text{lbf}

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