3-83E A crane is used to lower weights into a lake for an underwater construction project. Determine the tension in the rope of the crane due to a 3 -ft-diameter spherical steel block (density
=494 \mathrm{lbm} / \mathrm{ft}^{3}
) when it is
suspended in the air
=494 \mathrm{lbm} / \mathrm{ft}^{3}
) when it is
suspended in the air
Passo 1
O enunciado pede para determinar a tensão na corda do guindaste causada por um bloco esférico de aço de diâmetro
ft e densidade
quando o bloco está suspenso no ar.
Informações dadas e incógnita:
diâmetro
densidade (massa)
incógnita: tensão na corda
(em
)
Informações dadas e incógnita:
Passo 2
Entendimento físico e relação que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas): quando o bloco está suspenso em repouso no ar, a corda sustenta exatamente o peso do bloco (não há empuxo significativo do ar nem aceleração). Portanto a tensão
é igual à força peso do bloco.
Para obter o peso usamos a relação entre massa, gravidade e força: o peso (em
) é dado por
Para obter o peso usamos a relação entre massa, gravidade e força: o peso
onde
é a massa em
,
é a aceleração da gravidade (
) e
é a constante de conversão
. Para evitar confusão, é prático usar a densidade de peso (também chamada de peso específico)
, definida por
assim o peso é simplesmente
onde
é o volume do bloco. Observação importante: como
numericamente para gravidade padrão, temos
numericamente (ou seja,
corresponde a
como peso específico sob gravidade padrão). Vou mostrar esse passo para ficar claro.
Passo 3
Calcular o volume da esfera (aqui ensino a fórmula e cada cálculo): o volume de uma esfera de raio
é
O raio é metade do diâmetro, então
Calcule
:
Agora o volume:
Se quiser um valor numérico aproximado, usamos
:
Passo 4
Converter densidade de massa em densidade de peso (explico a conversão e por que é simples aqui): por definição
Tomando
e
, a razão
. Logo numericamente
(Se em prova aparecerem números diferentes para
e
, faria a conta completa; aqui ficam iguais e podemos usar
.)
Passo 5
Calcular a tensão (peso) multiplicando a densidade de peso pelo volume: como a tensão é igual ao peso,
Substituindo os valores numéricos:
Faço a multiplicação passo a passo: primeiro uma aproximação
Uma forma rápida:
. Calculando:
Arredondando razoavelmente (3 algarismos significativos):
Passo 6
Interpretação final e verificação rápida: a tensão obtida é da ordem de
, ou seja, a corda precisa suportar cerca de
. Não esquecendo unidades e que esse valor é para o bloco suspenso no ar (quando o bloco estiver submerso haverá empuxo que reduz a tensão).