3-83E A crane is used to lower weights into a lake for an underwater construction project. Determine the tension in the rope of the crane due to a 3 -ft-diameter spherical steel block (density
=494 \mathrm{lbm} / \mathrm{ft}^{3}
) when it is
suspended in the air

Passo 1

O enunciado pede para determinar a tensão na corda do guindaste causada por um bloco esférico de aço de diâmetro 3 ft e densidade \rho = 494\\ \mathrm{lbm/ft^{3}} quando o bloco está suspenso no ar.
Informações dadas e incógnita:
\displaystyle diâmetro D = 3\\ \mathrm{ft}
\displaystyle densidade (massa) \rho = 494\\ \mathrm{lbm/ft^{3}}
\displaystyle incógnita: tensão na corda T (em \mathrm{lbf})

Passo 2

Entendimento físico e relação que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas): quando o bloco está suspenso em repouso no ar, a corda sustenta exatamente o peso do bloco (não há empuxo significativo do ar nem aceleração). Portanto a tensão T é igual à força peso do bloco.
Para obter o peso usamos a relação entre massa, gravidade e força: o peso W (em \mathrm{lbf}) é dado por
W = m\frac{g}{g_c},
onde m é a massa em \mathrm{lbm}, g é a aceleração da gravidade ( 32{,}174\\ \mathrm{ft/s^{2}}) e g_c é a constante de conversão 32{,}174\\ \mathrm{lbm\cdot ft/(lbf\cdot s^{2})}. Para evitar confusão, é prático usar a densidade de peso (também chamada de peso específico) \gamma, definida por
\gamma=\rho\frac{g}{g_c},
assim o peso é simplesmente
W=\gamma V,
onde V é o volume do bloco. Observação importante: como g=g_c numericamente para gravidade padrão, temos \gamma=\rho numericamente (ou seja, 494\\ \mathrm{lbm/ft^{3}} corresponde a 494\\ \mathrm{lbf/ft^{3}} como peso específico sob gravidade padrão). Vou mostrar esse passo para ficar claro.

Passo 3

Calcular o volume da esfera (aqui ensino a fórmula e cada cálculo): o volume de uma esfera de raio r é
V=\frac{4}{3}\pi r^{3}.
O raio é metade do diâmetro, então
r=\frac{D}{2}=\frac{3}{2}=1{,}5\\ \mathrm{ft}.
Calcule r^{3}:
r^{3}=(1{,}5)^{3}=1{,}5\times1{,}5\times1{,}5=3{,}375\\ \mathrm{ft^{3}}.
Agora o volume:
V=\frac{4}{3}\pi(3{,}375)=4{,}5\pi\\ \mathrm{ft^{3}}.
Se quiser um valor numérico aproximado, usamos \pi\approx3{,}1415927:
V\approx 4{,}5\times3{,}1415927 \approx 14{,}137\\ \mathrm{ft^{3}}.

Passo 4

Converter densidade de massa em densidade de peso (explico a conversão e por que é simples aqui): por definição
\gamma=\rho\frac{g}{g_c}.
Tomando g=32{,}174\\ \mathrm{ft/s^{2}} e g_c=32{,}174\\ \mathrm{lbm\cdot ft/(lbf\cdot s^{2})}, a razão \dfrac{g}{g_c}=1. Logo numericamente
\gamma=\rho=494\\ \mathrm{lbf/ft^{3}}.
(Se em prova aparecerem números diferentes para g e g_c, faria a conta completa; aqui ficam iguais e podemos usar \gamma=494\\ \mathrm{lbf/ft^{3}}.)

Passo 5

Calcular a tensão (peso) multiplicando a densidade de peso pelo volume: como a tensão é igual ao peso,
T=W=\gamma V.
Substituindo os valores numéricos:
T=494\\ \mathrm{lbf/ft^{3}}\times 14{,}137\\ \mathrm{ft^{3}}.
Faço a multiplicação passo a passo: primeiro uma aproximação
494\times14{,}137 \approx 494\times(14{,}137).
Uma forma rápida: 494\times14{,}137 = 500\times14{,}137 -6\times14{,}137. Calculando:
500\times14{,}137 = 7\,068{,}5,
6\times14{,}137 = 84{,}822,
7\,068{,}5 - 84{,}822 \approx 6\,983{,}68\\ \mathrm{lbf}.
Arredondando razoavelmente (3 algarismos significativos):
T \approx 6{,}98\times10^{3}\\ \mathrm{lbf}.

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida: a tensão obtida é da ordem de 7{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{lbf}, ou seja, a corda precisa suportar cerca de 6984\\ \mathrm{lbf}. Não esquecendo unidades e que esse valor é para o bloco suspenso no ar (quando o bloco estiver submerso haverá empuxo que reduz a tensão).

Resposta

\displaystyle T\approx 6{,}984\\ \mathrm{lbf}

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