3-84 The volume and the average density of an irregularly shaped body are to be determined by using a spring scale. The body weighs 7200 N in air and 4790 N in water. Determine the volume and the density of the body. State your assumptions.

Passo 1

O enunciado dá os pesos do corpo em duas situações e pede o volume e a densidade do corpo. Dados fornecidos (transcritos exatamente do enunciado):
\text{peso em ar} = 7200\\ \text{N}
\text{peso aparente em água} = 4790\\ \text{N}á
O que é pedido:
  • Determinar o volume do corpo.
  • Determinar a densidade média do corpo.

Passo 2

Assumimos as condições padrão necessárias para aplicar o princípio de Arquimedes:
  • A água tem densidade \rho_{\text{água}} = 1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}á. (Assunção usual para água doce.)
  • A aceleração da gravidade vale g = 9{,}81\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
    Também vamos usar o princípio de Arquimedes, cuja fórmula e significado explico a seguir.
Princípio de Arquimedes (aula rápida): um corpo imerso num fluido sofre uma força de empuxo igual ao peso do fluido deslocado. Em símbolos,
E = \rho_{\text{fluido}}\,V_{\text{deslocado}}\,g,
onde
  • E é o empuxo (força para cima, em N),
  • \rho_{\text{fluido}} é a densidade do fluido (em \mathrm{kg\,m^{-3}}),
  • V_{\text{deslocado}} é o volume do fluido deslocado, que, se o corpo estiver totalmente submerso, é o volume do corpo (em \mathrm{m^3}),
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m\,s^{-2}}).
Outra relação útil: o peso real do corpo em ar é
W_{\text{ar}} = m g,
onde m é a massa do corpo. A massa e o volume se relacionam pela densidade do corpo:
\rho_{\text{corpo}} = \frac{m}{V}.

Passo 3

Primeiro passo prático: calcular o empuxo E. O empuxo é a diferença entre o peso em ar e o peso aparente na água, porque o empuxo reduz o peso aparente:
E = W_{\text{ar}} - W_{\text{água}}.á
Substituindo os valores dados:
E = 7200\\ \mathrm{N} - 4790\\ \mathrm{N} = 2410\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Usar a fórmula do empuxo para achar o volume V. Se o corpo está totalmente submerso (assunção implícita para usar a diferença de pesos como empuxo total), então V_{\text{deslocado}} = V e:
E = \rho_{\text{água}}\,V\,g.á
Isolando V:
V = \frac{E}{\rho_{\text{água}}\,g}.á
Agora substituímos números:
V = \frac{2410\\ \mathrm{N}}{(1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}})(9{,}81\\ \mathrm{m\,s^{-2}})}.
Calcule passo a passo: o denominador é 1000\times 9{,}81 = 9810\\ \mathrm{N\,m^{-3}} (lembre: \mathrm{kg\,m^{-3}}\times\mathrm{m\,s^{-2}}=\mathrm{N\,m^{-3}} e ao dividir dá \mathrm{m^3}). Então
V = \frac{2410}{9810}\\ \mathrm{m^3} \approx 0{,}24566\\ \mathrm{m^3}.
Arredondando com senso prático para a prova, podemos anotar
V \approx 0{,}2457\\ \mathrm{m^3}.

Passo 5

Agora vamos obter a massa m a partir do peso em ar:
m = \frac{W_{\text{ar}}}{g} = \frac{7200\\ \mathrm{N}}{9{,}81\\ \mathrm{m\,s^{-2}}}.
Calculando:
m \approx 734{,}35\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Calcular a densidade média do corpo usando \rho_{\text{corpo}} = \dfrac{m}{V}. Substituindo os valores:
\rho_{\text{corpo}} = \frac{734{,}35\\ \mathrm{kg}}{0{,}24566\\ \mathrm{m^3}} \approx 2988{,}9\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
Observação útil (atalho sem usar g): ao combinar as fórmulas anteriores vê-se que g cancela:
\rho_{\text{corpo}} = \rho_{\text{água}}\cdot\frac{W_{\text{ar}}}{W_{\text{ar}}-W_{\text{água}}}.áá
Aplicando esse atalho:
\rho_{\text{corpo}} = 1000\cdot\frac{7200}{7200-4790}=1000\cdot\frac{7200}{2410}\approx 2988{,}8\\ \mathrm{kg\,m^{-3}},
mesmo resultado (pequima diferença por arredondamento intermediário).

Passo 7

Verificação de consistência e interpretação: a densidade calculada \approx 2990\\ \mathrm{kg\,m^{-3}} é maior que a da água ( 1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}), o que faz sentido porque o corpo afunda (peso aparente é menor que peso em ar, mas positivo). Unidades estão corretas: volume em \mathrm{m^3} e densidade em \mathrm{kg\,m^{-3}}. Também declaramos a assunção crucial: usamos \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}á e g=9{,}81\\ \mathrm{m\,s^{-2}}; se o enunciado quiser outro valor (por ex. g=9{,}80 ou água a outra temperatura), os números mudam ligeiramente.

Resposta

\displaystyle V \approx 0{,}2457\\ \mathrm{m^3}
\displaystyle \rho_{\text{corpo}} \approx 2988{,}9\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}

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