3-84 The volume and the average density of an irregularly shaped body are to be determined by using a spring scale. The body weighs 7200 N in air and 4790 N in water. Determine the volume and the density of the body. State your assumptions.
Passo 1
O enunciado dá os pesos do corpo em duas situações e pede o volume e a densidade do corpo. Dados fornecidos (transcritos exatamente do enunciado):
O que é pedido:
- Determinar o volume do corpo.
- Determinar a densidade média do corpo.
Passo 2
Assumimos as condições padrão necessárias para aplicar o princípio de Arquimedes:
- A água tem densidade
. (Assunção usual para água doce.) - A aceleração da gravidade vale
.
Também vamos usar o princípio de Arquimedes, cuja fórmula e significado explico a seguir.
Princípio de Arquimedes (aula rápida): um corpo imerso num fluido sofre uma força de empuxo igual ao peso do fluido deslocado. Em símbolos,
onde
-
é o empuxo (força para cima, em N), -
é a densidade do fluido (em ), -
é o volume do fluido deslocado, que, se o corpo estiver totalmente submerso, é o volume do corpo (em ), -
é a aceleração da gravidade (em ).
Outra relação útil: o peso real do corpo em ar é
onde
é a massa do corpo. A massa e o volume se relacionam pela densidade do corpo:
Passo 3
Primeiro passo prático: calcular o empuxo
. O empuxo é a diferença entre o peso em ar e o peso aparente na água, porque o empuxo reduz o peso aparente:
Substituindo os valores dados:
Passo 4
Usar a fórmula do empuxo para achar o volume
. Se o corpo está totalmente submerso (assunção implícita para usar a diferença de pesos como empuxo total), então
e:
Isolando
:
Agora substituímos números:
Calcule passo a passo: o denominador é
(lembre:
e ao dividir dá
). Então
Arredondando com senso prático para a prova, podemos anotar
Passo 5
Agora vamos obter a massa
a partir do peso em ar:
Calculando:
Passo 6
Calcular a densidade média do corpo usando
. Substituindo os valores:
Observação útil (atalho sem usar
): ao combinar as fórmulas anteriores vê-se que
cancela:
Aplicando esse atalho:
mesmo resultado (pequima diferença por arredondamento intermediário).
Passo 7
Verificação de consistência e interpretação: a densidade calculada
é maior que a da água (
), o que faz sentido porque o corpo afunda (peso aparente é menor que peso em ar, mas positivo). Unidades estão corretas: volume em
e densidade em
. Também declaramos a assunção crucial: usamos
e
; se o enunciado quiser outro valor (por ex.
ou água a outra temperatura), os números mudam ligeiramente.