Discuss the stability of
a submerged body whose center of gravity is above the center of buoyancy.

Passo 1

O que o enunciado pede: discutir a estabilidade de um corpo submerso cujo centro de gravidade está acima do centro de empuxo (ou centro de buoyância).
Informações dadas (implícitas): o corpo está num fluido em equilíbrio; chamaremos de G o ponto onde atua o peso (centro de gravidade), de B o ponto onde atua o empuxo (centro de buoyância) e de W a intensidade do peso (força para baixo). Não foram fornecidos números nem figura; a pergunta é conceitual.

Passo 2

Definições e forças relevantes (explicadas de forma bem direta):
  • Peso: força vertical para baixo de módulo W aplicada no ponto G. Aqui W = mg, onde m é a massa do corpo e g a aceleração da gravidade.
  • Empuxo: força vertical para cima de módulo igual ao peso do fluido deslocado (princípio de Arquimedes) aplicada no ponto B. O empuxo tem módulo igual a W quando o corpo está em equilíbrio vertical (isto é, o corpo não está submergindo/afundando), pois a condição de equilíbrio vertical exige forças verticais balanceadas.
  • Posição relativa: chamamos de BG a distância vertical entre B e G. Dizemos que G está “acima” de B quando BG>0 (ou seja, G fica mais alto que B).
Vou usar a convenção simples: um pequeno giro do corpo por um ângulo \theta é positivo quando provoca uma rotação sensível (qualquer sinal serve, contarei o efeito do momento sobre \theta).

Passo 3

Condição de equilíbrio estático (posição inicial):
Para haver equilíbrio sem rotação, as duas forças verticais (peso W e empuxo) devem ter a mesma intensidade e suas linhas de ação devem coincidir (mesma linha vertical). Se G está exatamente sobre B na vertical, não há momento inicial e o corpo está em equilíbrio (pelo menos estático).

Passo 4

Como estudar estabilidade: pequeno deslocamento angular (análise de pequena rotação) — ideia física e fórmula do momento restaurador.
  • Imagine deslocar o corpo por um pequeno ângulo \theta. Tanto G quanto B são pontos fixos no corpo (o local relativo entre eles não muda no corpo), mas a linha vertical do peso é uma direção fixa no espaço. Após a rotação, as linhas de ação de peso e empuxo ficam deslocadas horizontalmente entre si, gerando um momento de força que tende a girar o corpo.
  • A componente horizontal (braço) entre as linhas de ação, para pequeno \theta, vale aproximadamente BG\sin\theta. Portanto o momento (torque) devido à separação é aproximadamente
M \approx W \cdot BG \sin\theta.
  • Para ângulos pequenos podemos aproximar \sin\theta \approx \theta, obtendo
M \approx W \, BG \, \theta.
Aqui M tem sinal que depende de BG e do sinal escolhido para \theta; o importante é o sentido: se o momento tende a diminuir \theta (oposição à rotação aplicada) então há um momento restaurador → estabilidade; se tende a aumentar \theta então a rotação cresce → instabilidade.

Passo 5

Interpretação do sinal do momento e conclusão prática (estabilidade/instabilidade):
  • Se BG<0 (ou seja, G está abaixo de B), então W\cdot BG é negativo e o momento M fica com sinal oposto ao de \theta: o torque tende a opor-se à rotação pequena — é um momento restaurador. Resultado: equilíbrio estável (pequenas perturbações são rechaçadas e o corpo volta à posição).
  • Se BG=0 (ou seja, G coincidente com B), então M\approx 0 para pequenas rotações: não há momento primeiro-ordem que recupere ou aumente a rotação — equilíbrio neutro (pequenas rotações não geram torque que retorne o corpo nem que o faça girar mais).
  • Se BG>0 (ou seja, G acima de B, caso do enunciado), então W\cdot BG é positivo e M tem o mesmo sinal de \theta: a pequena rotação gera um momento que aumenta a rotação (não a corrige). Resultado: equilíbrio instável — qualquer pequena inclinação tende a crescer e o corpo gira até encontrar outra configuração (ou sofrer rotação contínua).
Em palavras: quando G está acima de B a separação vertical produz um “alavancamento” que amplifica pequenas rotações em vez de corrigi‑las — o corpo é instável.

Passo 6

Observações importantes e exceções práticas (pra você não se confundir na prova):
  • Corpo totalmente submerso e livre: a conclusão acima (G acima de B → instável) vale diretamente.
  • Corpo parcialmente submerso (caso de um navio ou boia): a estabilidade de rolamento/encosto não depende somente de B e G mas também da posição do metacentro M. A condição prática para estabilidade é
GM = BM - BG > 0,
onde BM é a distância entre B e o metacentro M. Para corpos flutuantes BM pode ser calculado por
BM = \dfrac{I}{V},
com I momento de inércia da área da linha d’água (waterplane) e V o volume submerso. Assim, um casco pode ter G acima de B e, ainda assim, ser estável se M ficar acima de G (ou seja, GM>0). Isso é o que ocorre em muitos barcos.
  • Neutralidade: se G coincide com B e o corpo está totalmente submerso, rotações pequenas não geram momento; o corpo fica em equilíbrio indiferente a pequenas rotações (neutro).
  • Em resumo prático: para um corpo totalmente submerso e livre, posição de G acima de B implica instabilidade. Para um corpo flutuante (com superfície livre) pode haver estabilidade mesmo com G acima de B — aí o metacentro entra na conta.

Passo 7

Exemplo numérico rápido (para fixar):
  • Suponha um corpo submerso com peso W=100\\ \text{N} e distância vertical BG=0{,}2\\ \text{m} (ou seja, G está 0{,}2 m acima de B). Para uma pequena rotação \theta (em radianos) o momento é aproximadamente
M \approx 100 \times 0{,}2 \times \theta = 20\,\theta\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Como M tem o mesmo sinal de \theta, qualquer pequeno \theta>0 gera M>0 que aumenta a rotação — comportamento instável. Isso ajuda a visualizar: um pequeno giro já cria um torque que “puxa” para mais giro.

Passo 8

Resumo motivacional e dica de prova: ao responder uma questão dessas na prova, escreva (i) equilíbrio exige W e empuxo coincidentes em linha vertical, (ii) faça análise de pequena rotação e derive M\approx W\,BG\sin\theta, (iii) conclua pelo sinal de BG. E acrescente a observação sobre o caso de corpos flutuantes e metacentro, porque os examinadores frequentemente esperam essa distinção.

Resposta

O corpo é instável: se o centro de gravidade G está acima do centro de empuxo B ( BG>0), pequenas rotações produzem um momento que aumenta a rotação, portanto a configuração é instável.

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