Discuss the stability of
a submerged body whose center of gravity is above the center of buoyancy.
a submerged body whose center of gravity is above the center of buoyancy.
Passo 1
O que o enunciado pede: discutir a estabilidade de um corpo submerso cujo centro de gravidade está acima do centro de empuxo (ou centro de buoyância).
Informações dadas (implícitas): o corpo está num fluido em equilíbrio; chamaremos de o ponto onde atua o peso (centro de gravidade), de
o ponto onde atua o empuxo (centro de buoyância) e de
a intensidade do peso (força para baixo). Não foram fornecidos números nem figura; a pergunta é conceitual.
Informações dadas (implícitas): o corpo está num fluido em equilíbrio; chamaremos de
Passo 2
Definições e forças relevantes (explicadas de forma bem direta):
- Peso: força vertical para baixo de módulo
aplicada no ponto . Aqui , onde é a massa do corpo e a aceleração da gravidade. - Empuxo: força vertical para cima de módulo igual ao peso do fluido deslocado (princípio de Arquimedes) aplicada no ponto
. O empuxo tem módulo igual a quando o corpo está em equilíbrio vertical (isto é, o corpo não está submergindo/afundando), pois a condição de equilíbrio vertical exige forças verticais balanceadas. - Posição relativa: chamamos de
a distância vertical entre e . Dizemos que está “acima” de quando (ou seja, fica mais alto que ).
Vou usar a convenção simples: um pequeno giro do corpo por um ângulo
é positivo quando provoca uma rotação sensível (qualquer sinal serve, contarei o efeito do momento sobre
).
Passo 3
Condição de equilíbrio estático (posição inicial):
Para haver equilíbrio sem rotação, as duas forças verticais (peso e empuxo) devem ter a mesma intensidade e suas linhas de ação devem coincidir (mesma linha vertical). Se
está exatamente sobre
na vertical, não há momento inicial e o corpo está em equilíbrio (pelo menos estático).
Para haver equilíbrio sem rotação, as duas forças verticais (peso
Passo 4
Como estudar estabilidade: pequeno deslocamento angular (análise de pequena rotação) — ideia física e fórmula do momento restaurador.
- Imagine deslocar o corpo por um pequeno ângulo
. Tanto quanto são pontos fixos no corpo (o local relativo entre eles não muda no corpo), mas a linha vertical do peso é uma direção fixa no espaço. Após a rotação, as linhas de ação de peso e empuxo ficam deslocadas horizontalmente entre si, gerando um momento de força que tende a girar o corpo. - A componente horizontal (braço) entre as linhas de ação, para pequeno
, vale aproximadamente . Portanto o momento (torque) devido à separação é aproximadamente
- Para ângulos pequenos podemos aproximar
, obtendo
Aqui
tem sinal que depende de
e do sinal escolhido para
; o importante é o sentido: se o momento tende a diminuir
(oposição à rotação aplicada) então há um momento restaurador → estabilidade; se tende a aumentar
então a rotação cresce → instabilidade.
Passo 5
Interpretação do sinal do momento e conclusão prática (estabilidade/instabilidade):
- Se
(ou seja, está abaixo de ), então é negativo e o momento fica com sinal oposto ao de : o torque tende a opor-se à rotação pequena — é um momento restaurador. Resultado: equilíbrio estável (pequenas perturbações são rechaçadas e o corpo volta à posição). - Se
(ou seja, coincidente com ), então para pequenas rotações: não há momento primeiro-ordem que recupere ou aumente a rotação — equilíbrio neutro (pequenas rotações não geram torque que retorne o corpo nem que o faça girar mais). - Se
(ou seja, acima de , caso do enunciado), então é positivo e tem o mesmo sinal de : a pequena rotação gera um momento que aumenta a rotação (não a corrige). Resultado: equilíbrio instável — qualquer pequena inclinação tende a crescer e o corpo gira até encontrar outra configuração (ou sofrer rotação contínua).
Em palavras: quando
está acima de
a separação vertical produz um “alavancamento” que amplifica pequenas rotações em vez de corrigi‑las — o corpo é instável.
Passo 6
Observações importantes e exceções práticas (pra você não se confundir na prova):
- Corpo totalmente submerso e livre: a conclusão acima (G acima de B → instável) vale diretamente.
- Corpo parcialmente submerso (caso de um navio ou boia): a estabilidade de rolamento/encosto não depende somente de
e mas também da posição do metacentro . A condição prática para estabilidade é
onde
é a distância entre
e o metacentro
. Para corpos flutuantes
pode ser calculado por
com
momento de inércia da área da linha d’água (waterplane) e
o volume submerso. Assim, um casco pode ter
acima de
e, ainda assim, ser estável se
ficar acima de
(ou seja,
). Isso é o que ocorre em muitos barcos.
- Neutralidade: se
coincide com e o corpo está totalmente submerso, rotações pequenas não geram momento; o corpo fica em equilíbrio indiferente a pequenas rotações (neutro). - Em resumo prático: para um corpo totalmente submerso e livre, posição de
acima de implica instabilidade. Para um corpo flutuante (com superfície livre) pode haver estabilidade mesmo com acima de — aí o metacentro entra na conta.
Passo 7
Exemplo numérico rápido (para fixar):
- Suponha um corpo submerso com peso
e distância vertical (ou seja, está m acima de ). Para uma pequena rotação (em radianos) o momento é aproximadamente
Como
tem o mesmo sinal de
, qualquer pequeno
gera
que aumenta a rotação — comportamento instável. Isso ajuda a visualizar: um pequeno giro já cria um torque que “puxa” para mais giro.
Passo 8
Resumo motivacional e dica de prova: ao responder uma questão dessas na prova, escreva (i) equilíbrio exige
e empuxo coincidentes em linha vertical, (ii) faça análise de pequena rotação e derive
, (iii) conclua pelo sinal de
. E acrescente a observação sobre o caso de corpos flutuantes e metacentro, porque os examinadores frequentemente esperam essa distinção.
Resposta
O corpo é instável: se o centro de gravidade
está acima do centro de empuxo
(
), pequenas rotações produzem um momento que aumenta a rotação, portanto a configuração é instável.