5.84 Uma comporta automática consiste em uma placa quadrada de
225 mm que gira em torno de um eixo horizontal em
localizado a uma distância
da borda inferior. Determine a profundidade de água
para que a comporta seja aberta.
Passo 1
O enunciado dá uma placa quadrada de dimensões
que gira em torno de um eixo horizontal em
. O eixo
está a uma distância
da borda inferior da placa. A placa é vertical e a água exerce pressão hidrostática numa das faces. A pergunta é: determinar a profundidade de água
(medida a partir da borda inferior da placa até a superfície livre) para que a comporta seja aberta.
Dados importantes:
- dimensão da placa:
.
- posição do eixo:
a partir da borda inferior.
- a profundidade de água a determinar:
.
Passo 2
Escolho um sistema de referência simples para fazer as contas: meço a coordenada vertical
a partir da borda inferior da placa para cima, de modo que
é a borda inferior e
cresce até o topo da placa em
. A superfície livre da água está na altura
. Onde houver água (ou seja, para
) a pressão hidrostática em um ponto localizado em
é dada por:
onde
é a massa específica da água e
a aceleração da gravidade. Aqui explico o porquê desta fórmula: a pressão hidrostática depende da profundidade medida a partir da superfície livre; para um ponto cuja coordenada é
(medida a partir do fundo), a profundidade em relação à superfície é
, então
com
.
A força resultante sobre a placa (força hidrostática total) age horizontalmente e é obtida integrando a pressão sobre a área da placa. Como a placa é quadrada com largura (no sentido perpendicular ao plano)
, vou tratar
como a largura constante da placa na integração.
Passo 3
Calculo a intensidade da força resultante
. Considero uma faixa horizontal de altura
localizada em
. A força nessa faixa é
. Então:
Integro de
até
para obter
:
Faço a integral passo a passo:
Portanto
Observação didática: essa expressão mostra que a força aumenta com o quadrado da profundidade útil
, o que é típico da integração de uma distribuição triangular de pressão.
Passo 4
Agora precisamos da linha de ação dessa força (a posição vertical onde ela age), porque é o braço que cria o momento em relação ao eixo
. Calculo o momento da distribuição de pressão em relação à borda inferior (ponto
), que é
Faço a integral:
Logo
A posição vertical
da linha de ação da força, medida a partir da borda inferior, é o momento dividido pela força:
Interpretação física: para uma distribuição triangular de pressão (quando a superfície livre coincide com a borda superior do trecho molhado), o resultado atua a um terço da altura medida a partir da base da triângulo (aqui, a base é a borda inferior), ou seja,
. Equivalentemente, medido a partir da superfície livre, a linha de ação está a
.
Passo 5
Agora volto ao que significa “a comporta seja aberta”. A força hidrostática é horizontal; ela criará um momento (torque) em torno do eixo
dependendo da distância vertical entre a sua linha de ação e o eixo. Se a linha de ação de
ficar acima do eixo
(ou seja, em coordenada
maior que
), o braço de momento tende a girar a comporta no sentido de abertura. Portanto, a condição mínima (limiar) para abertura é:
Substituo
e
:
Passo 6
Resolvo para
:
Observação final e incentivo: esse valor é a profundidade mínima para que a linha de ação da força esteja exatamente no eixo; para que a comporta efetivamente abra sem dúvida, a profundidade precisa ser um pouco maior que
. Note também que a altura da placa é
, então
implica que a superfície livre da água está
acima do topo da placa — ou seja, a água precisa transbordar a borda superior para que a força exerça o braço suficiente. Isso é uma conclusão útil para interpretar o resultado na prova ou em engenharia.