5.84 Uma comporta automática consiste em uma placa quadrada de 225 \times 225 mm que gira em torno de um eixo horizontal em A localizado a uma distância h=90 \mathrm{~mm} da borda inferior. Determine a profundidade de água d para que a comporta seja aberta.

Passo 1

O enunciado dá uma placa quadrada de dimensões 225\times 225\\ \mathrm{mm} que gira em torno de um eixo horizontal em A. O eixo A está a uma distância h=90\\ \mathrm{mm} da borda inferior da placa. A placa é vertical e a água exerce pressão hidrostática numa das faces. A pergunta é: determinar a profundidade de água d (medida a partir da borda inferior da placa até a superfície livre) para que a comporta seja aberta.
Dados importantes:
\; - dimensão da placa: 225\times225\\ \mathrm{mm}.
\; - posição do eixo: h=90\\ \mathrm{mm} a partir da borda inferior.
\; - a profundidade de água a determinar: d.

Passo 2

Escolho um sistema de referência simples para fazer as contas: meço a coordenada vertical y a partir da borda inferior da placa para cima, de modo que y=0 é a borda inferior e y cresce até o topo da placa em y=225\\ \mathrm{mm}. A superfície livre da água está na altura y=d. Onde houver água (ou seja, para 0\le y\le d) a pressão hidrostática em um ponto localizado em y é dada por:
p(y)=\rho g\,(d-y),
onde \rho é a massa específica da água e g a aceleração da gravidade. Aqui explico o porquê desta fórmula: a pressão hidrostática depende da profundidade medida a partir da superfície livre; para um ponto cuja coordenada é y (medida a partir do fundo), a profundidade em relação à superfície é (d-y), então p=\rho g z com z=d-y.
A força resultante sobre a placa (força hidrostática total) age horizontalmente e é obtida integrando a pressão sobre a área da placa. Como a placa é quadrada com largura (no sentido perpendicular ao plano) w=225\\ \mathrm{mm}, vou tratar w como a largura constante da placa na integração.

Passo 3

Calculo a intensidade da força resultante R. Considero uma faixa horizontal de altura dy localizada em y. A força nessa faixa é dF=p(y)\cdot w\cdot dy. Então:
dF=\rho g\,w\,(d-y)\,dy.
Integro de y=0 até y=d para obter R:
R=\rho g\,w\int_{0}^{d}(d-y)\,dy.
Faço a integral passo a passo:
\int_{0}^{d}(d-y)\,dy=\left[dy-\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{d}=d^{2}-\frac{d^{2}}{2}=\frac{d^{2}}{2}.
Portanto
R=\rho g\,w\,\frac{d^{2}}{2}.
Observação didática: essa expressão mostra que a força aumenta com o quadrado da profundidade útil d, o que é típico da integração de uma distribuição triangular de pressão.

Passo 4

Agora precisamos da linha de ação dessa força (a posição vertical onde ela age), porque é o braço que cria o momento em relação ao eixo A. Calculo o momento da distribuição de pressão em relação à borda inferior (ponto y=0), que é
M_{0}=\rho g\,w\int_{0}^{d}(d-y)\,y\,dy.
Faço a integral:
\int_{0}^{d}(d-y)\,y\,dy=\int_{0}^{d}(d y - y^{2})\,dy =\left[\frac{d\,y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{d} =\frac{d^{3}}{2}-\frac{d^{3}}{3} =\frac{d^{3}}{6}.
Logo
M_{0}=\rho g\,w\,\frac{d^{3}}{6}.
A posição vertical y_{R} da linha de ação da força, medida a partir da borda inferior, é o momento dividido pela força:
y_{R}=\frac{M_{0}}{R}=\frac{\rho g\,w\,\dfrac{d^{3}}{6}}{\rho g\,w\,\dfrac{d^{2}}{2}}=\frac{d}{3}.
Interpretação física: para uma distribuição triangular de pressão (quando a superfície livre coincide com a borda superior do trecho molhado), o resultado atua a um terço da altura medida a partir da base da triângulo (aqui, a base é a borda inferior), ou seja, y_{R}=d/3. Equivalentemente, medido a partir da superfície livre, a linha de ação está a 2d/3.

Passo 5

Agora volto ao que significa “a comporta seja aberta”. A força hidrostática é horizontal; ela criará um momento (torque) em torno do eixo A dependendo da distância vertical entre a sua linha de ação e o eixo. Se a linha de ação de R ficar acima do eixo A (ou seja, em coordenada y maior que h), o braço de momento tende a girar a comporta no sentido de abertura. Portanto, a condição mínima (limiar) para abertura é:
y_{R}=h.
Substituo y_{R}=d/3 e h=90\\ \mathrm{mm}:
\frac{d}{3}=h=90\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Resolvo para d:
d=3h=3\cdot 90\\ \mathrm{mm}=270\\ \mathrm{mm}.
Observação final e incentivo: esse valor é a profundidade mínima para que a linha de ação da força esteja exatamente no eixo; para que a comporta efetivamente abra sem dúvida, a profundidade precisa ser um pouco maior que 270\\ \mathrm{mm}. Note também que a altura da placa é 225\\ \mathrm{mm}, então d=270\\ \mathrm{mm} implica que a superfície livre da água está 45\\ \mathrm{mm} acima do topo da placa — ou seja, a água precisa transbordar a borda superior para que a força exerça o braço suficiente. Isso é uma conclusão útil para interpretar o resultado na prova ou em engenharia.

Resposta

d=270\\ \mathrm{mm}

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