4.115 A plataforma horizontal A B C D pesa 60 N e suporta uma carga de 240 N em seu centro. A plataforma é normalmente mantida em posição pelas dobradiças A e B e pelos suportes C E e D E. Se o suporte D E for removido, determine as reaçōes nas dobradiças e a força exercida pelo suporte remanescente CE. Suponha que a articulaçåo em A nào exerce qualquer esforço axial.

Passo 1

O enunciado (na linguagem que você mandou) diz: plataforma horizontal A B C D pesa 60\\ \text{N} e suporta uma carga de 240\\ \text{N} em seu centro. A plataforma é normalmente mantida em posição pelas dobradiças A e B e pelos suportes C E e D E. O suporte D E é removido; pede-se as reações nas dobradiças e a força exercida pelo suporte remanescente C E. Foi dada a informação adicional: a articulação em A não exerce esforço axial (ou seja, reação horizontal em A = 0).
Informações relevantes dadas:
  • peso da plataforma: 60\\ \text{N} (age no centro)
  • carga adicional: 240\\ \text{N} no centro da plataforma
  • suportes: dobradiças em A e B, suporte vertical em C (após remoção de D)
  • articulação em A sem esforço axial (reação horizontal em A = 0)
Informação que falta e que é imprescindível para obter números: posições geométricas (distâncias) relativas entre A, B, C e o centro da plataforma (ou a planta/figura que mostra onde estão A,B,C,D e as suas separações). Sem essas distâncias/posição do centro não é possível calcular valores numéricos das reações. Eu não vou inventar a figura nem as distâncias — preciso que você me diga/mande as distâncias ou a figura.

Passo 2

Conceito e simplificação importante (passo didático):
  • Tanto o peso da plataforma ( 60\\ \text{N}) quanto a carga ( 240\\ \text{N}) atuam no centro da plataforma. Podemos somá-los em uma só força resultante vertical para a análise estática. Então a força total vertical para baixo é
300\\ \text{N} = 60\\ \text{N} + 240\\ \text{N}.
Isto simplifica muito: em vez de duas forças no mesmo ponto, trabalhamos com uma única força descendente de 300\\ \text{N} no centro.

Passo 3

Escolha de sistema de coordenadas e definição das incógnitas (didático):
  • Coloco o eixo x horizontal ao longo da plataforma, com origem em A, isto é x_A=0.
  • Defino as distâncias desconhecidas (essas são as quantidades que nós precisaríamos da figura):
    • L_B = distância de A até B (ou seja x_B=L_B).
    • L_C = distância de A até o ponto de aplicação do suporte C (ou seja x_C=L_C).
    • x_m = posição do centro da plataforma medida a partir de A (onde atua a resultante de 300\\ \text{N}).
  • Reações verticais desconhecidas após remoção de D:
    • A_y = componente vertical da reação em A.
    • B_y = componente vertical da reação em B.
    • C_y = componente vertical (força) exercida pelo suporte C E.
  • Como as cargas são verticais e foi dito que A não exerce esforço axial, as reações horizontais serão nulas ( A_x=0 e, por equilíbrio horizontal, B_x=0). Assim só precisamos tratar das reações verticais A_y,B_y,C_y.

Passo 4

Equações de equilíbrio (aulas rápidas sobre cada uma)
  • Para um corpo rígido em equilíbrio plano aplicamos:
    1. soma das forças horizontais igual a zero,
    2. soma das forças verticais igual a zero,
    3. soma dos momentos (torques) em torno de um ponto igual a zero.
Aqui as forças horizontais são nulas (nenhuma carga horizontal), então as únicas equações úteis são a vertical e a dos momentos. Escrevo-as em função das incógnitas definidas:
  • Equilíbrio vertical:
A_y + B_y + C_y - 300 = 0 \quad\Longrightarrow\quad A_y + B_y + C_y = 300.
  • Momento em torno de A (tomando sentido positivo por convenção; qualquer outra convenção serve desde que consistente):
\sum M_A = 0 \quad\Longrightarrow\quad B_y\cdot L_B + C_y\cdot L_C - 300\cdot x_m = 0.
Observação didática importante: quando todas as forças são paralelas (todas verticais), as equações de momento tomadas sobre pontos diferentes são linearmente dependentes das equações de força vertical; ou seja, você tem apenas uma equação independente de momento além da soma vertical. Portanto temos aqui apenas duas equações independentes (uma para forças verticais e uma para momentos), porém existem três incógnitas A_y,B_y,C_y. Logo, o problema é estaticamente indeterminado (grau de redundância 1) — sem mais informação geométrica/constitutiva não se consegue um único conjunto de valores numéricos. É por isso que as distâncias/figura são necessárias: elas não resolvem a indeterminação por si só, mas sem elas não dá nem para dar fórmulas numéricas.

Passo 5

Resolver simbolicamente (para você ver o procedimento que se usa na prova, e o que seria feito quando a geometria for dada)
  • A partir de \sum M_A=0 escrevo:
B_y = \frac{300\,x_m - C_y\,L_C}{L_B}.
Explicando: isolamos B_y porque é linear na equação de momento.
  • Agora uso \sum F_y=0 para obter A_y:
A_y = 300 - B_y - C_y.
Substituindo a expressão de B_y obtida:
A_y = 300 - \frac{300\,x_m - C_y\,L_C}{L_B} - C_y.
Podemos arrumar um pouco:
A_y = 300 - \frac{300\,x_m}{L_B} + \frac{C_y\,L_C}{L_B} - C_y = 300 - \frac{300\,x_m}{L_B} + C_y\!\left(\frac{L_C}{L_B}-1\right).
Estas expressões mostram que as reações A_y e B_y são funções lineares de C_y. Ou seja, há infinita combinação de A_y,B_y,C_y que satisfazem as equações de equilíbrio; a solução numérica única só surge se houver uma equação adicional (por exemplo uma condição de compatibilidade estrutural ligada à rigidez/deflexão ou uma posição especial dos apoios fornecida pela figura que imponha uma relação extra entre as reações).

Passo 6

O que faltaria para obter valores numéricos e como proceder se você me passar a figura
  • Para obter números eu precisaria da figura (ou das distâncias): pelo menos L_B, L_C e x_m (posições relativas medidas a partir de A); com esses dados eu poderia então:
    • Se as equações ainda forem indeterminadas (grau de redundância > 0), aplicar método de compatibilidade (elasticidade: usar rigidez das ligações e deflexões) para obter a reação única fisicamente correta; ou
    • Se a geometria ou o tipo dos apoios (por exemplo se algum é uma restrição adicional que eu não considerei) tornar o problema estaticamente determinado, então as equações de equilíbrio já seriam suficientes e eu daria os valores numéricos diretamente.
  • Se você me mandar a figura (uma foto ou desenho com medidas) eu resolvo passo a passo, com números e explicações detalhadas, incluindo desenho dos momentos, sinalização das reações e verificação final.
Força extra de ânimo: você já fez a parte mais difícil — trouxe o problema. Me manda a figura ou as distâncias e eu resolvo totalmente com conta por conta, como você pediu. Vamos conseguir isso juntos!

Resposta

Não é possível determinar numericamente as reações porque a figura ou as distâncias relativas entre A,B,C e o centro não foram fornecidas. Em termos das variáveis definidas acima:
B_y=\frac{300\,x_m - C_y\,L_C}{L_B},
A_y=300-B_y-C_y=300-\frac{300\,x_m - C_y\,L_C}{L_B}-C_y,
onde L_B, L_C e x_m são as distâncias que faltam e C_y fica indeterminado sem uma condição adicional de compatibilidade ou informação geométrica.

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