4.115 A plataforma horizontal
pesa 60 N e suporta uma carga de 240 N em seu centro. A plataforma é normalmente mantida em posição pelas dobradiças
e
e pelos suportes
e
. Se o suporte
for removido, determine as reaçōes nas dobradiças e a força exercida pelo suporte remanescente CE. Suponha que a articulaçåo em
nào exerce qualquer esforço axial.
Passo 1
O enunciado (na linguagem que você mandou) diz: plataforma horizontal
pesa
e suporta uma carga de
em seu centro. A plataforma é normalmente mantida em posição pelas dobradiças
e
e pelos suportes
e
. O suporte
é removido; pede-se as reações nas dobradiças e a força exercida pelo suporte remanescente
. Foi dada a informação adicional: a articulação em
não exerce esforço axial (ou seja, reação horizontal em
= 0).
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- peso da plataforma:
(age no centro) - carga adicional:
no centro da plataforma - suportes: dobradiças em
e , suporte vertical em (após remoção de ) - articulação em
sem esforço axial (reação horizontal em = 0)
Informação que falta e que é imprescindível para obter números: posições geométricas (distâncias) relativas entre
,
,
e o centro da plataforma (ou a planta/figura que mostra onde estão
e as suas separações). Sem essas distâncias/posição do centro não é possível calcular valores numéricos das reações. Eu não vou inventar a figura nem as distâncias — preciso que você me diga/mande as distâncias ou a figura.
Passo 2
Conceito e simplificação importante (passo didático):
- Tanto o peso da plataforma (
) quanto a carga ( ) atuam no centro da plataforma. Podemos somá-los em uma só força resultante vertical para a análise estática. Então a força total vertical para baixo é
Isto simplifica muito: em vez de duas forças no mesmo ponto, trabalhamos com uma única força descendente de
no centro.
Passo 3
Escolha de sistema de coordenadas e definição das incógnitas (didático):
- Coloco o eixo
horizontal ao longo da plataforma, com origem em , isto é . - Defino as distâncias desconhecidas (essas são as quantidades que nós precisaríamos da figura):
-
= distância de até (ou seja ). -
= distância de até o ponto de aplicação do suporte (ou seja ). -
= posição do centro da plataforma medida a partir de (onde atua a resultante de ).
-
- Reações verticais desconhecidas após remoção de
: -
= componente vertical da reação em . -
= componente vertical da reação em . -
= componente vertical (força) exercida pelo suporte .
-
- Como as cargas são verticais e foi dito que
não exerce esforço axial, as reações horizontais serão nulas ( e, por equilíbrio horizontal, ). Assim só precisamos tratar das reações verticais .
Passo 4
Equações de equilíbrio (aulas rápidas sobre cada uma)
- Para um corpo rígido em equilíbrio plano aplicamos:
- soma das forças horizontais igual a zero,
- soma das forças verticais igual a zero,
- soma dos momentos (torques) em torno de um ponto igual a zero.
Aqui as forças horizontais são nulas (nenhuma carga horizontal), então as únicas equações úteis são a vertical e a dos momentos. Escrevo-as em função das incógnitas definidas:
- Equilíbrio vertical:
- Momento em torno de
(tomando sentido positivo por convenção; qualquer outra convenção serve desde que consistente):
Observação didática importante: quando todas as forças são paralelas (todas verticais), as equações de momento tomadas sobre pontos diferentes são linearmente dependentes das equações de força vertical; ou seja, você tem apenas uma equação independente de momento além da soma vertical. Portanto temos aqui apenas duas equações independentes (uma para forças verticais e uma para momentos), porém existem três incógnitas
. Logo, o problema é estaticamente indeterminado (grau de redundância 1) — sem mais informação geométrica/constitutiva não se consegue um único conjunto de valores numéricos. É por isso que as distâncias/figura são necessárias: elas não resolvem a indeterminação por si só, mas sem elas não dá nem para dar fórmulas numéricas.
Passo 5
Resolver simbolicamente (para você ver o procedimento que se usa na prova, e o que seria feito quando a geometria for dada)
- A partir de
escrevo:
Explicando: isolamos
porque é linear na equação de momento.
- Agora uso
para obter :
Substituindo a expressão de
obtida:
Podemos arrumar um pouco:
Estas expressões mostram que as reações
e
são funções lineares de
. Ou seja, há infinita combinação de
que satisfazem as equações de equilíbrio; a solução numérica única só surge se houver uma equação adicional (por exemplo uma condição de compatibilidade estrutural ligada à rigidez/deflexão ou uma posição especial dos apoios fornecida pela figura que imponha uma relação extra entre as reações).
Passo 6
O que faltaria para obter valores numéricos e como proceder se você me passar a figura
- Para obter números eu precisaria da figura (ou das distâncias): pelo menos
, e (posições relativas medidas a partir de ); com esses dados eu poderia então: - Se as equações ainda forem indeterminadas (grau de redundância > 0), aplicar método de compatibilidade (elasticidade: usar rigidez das ligações e deflexões) para obter a reação única fisicamente correta; ou
- Se a geometria ou o tipo dos apoios (por exemplo se algum é uma restrição adicional que eu não considerei) tornar o problema estaticamente determinado, então as equações de equilíbrio já seriam suficientes e eu daria os valores numéricos diretamente.
- Se você me mandar a figura (uma foto ou desenho com medidas) eu resolvo passo a passo, com números e explicações detalhadas, incluindo desenho dos momentos, sinalização das reações e verificação final.
Força extra de ânimo: você já fez a parte mais difícil — trouxe o problema. Me manda a figura ou as distâncias e eu resolvo totalmente com conta por conta, como você pediu. Vamos conseguir isso juntos!
Resposta
Não é possível determinar numericamente as reações porque a figura ou as distâncias relativas entre
e o centro não foram fornecidas. Em termos das variáveis definidas acima:
onde
,
e
são as distâncias que faltam e
fica indeterminado sem uma condição adicional de compatibilidade ou informação geométrica.