- (a) Mostre numa colisão elástica unidimensional a velocidade do centro de massa de duas partículas, de massas
e
, que têm velocidade inicial
e
, respectivamente, é expressa por
(b) Aplique as Eqs. 15 e 16 para
e
(as velocidades das partículas após o choque), a fim de deduzir o mesmo resultado para
após o impacto.
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Passo 1
O enunciado tem duas partes. Vou listar o que ele pede e quais informações foram dadas, ponto a ponto, para ficar bem claro.
- Pergunta (a): Mostrar que, numa colisão elástica unidimensional entre duas partículas de massas
e e velocidades iniciais e , a velocidade do centro de massa é
- Pergunta (b): Usar as Eqs. 15 e 16 (as fórmulas canônicas para as velocidades finais numa colisão elástica unidimensional) para
e e deduzir que a expressão do item (a) vale também após o impacto (ou seja, mostrar que a velocidade do centro de massa depois do choque tem o mesmo valor).
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
- Duas partículas, massas
e . - Velocidades iniciais
e . - Após colisão elástica, existem velocidades finais
e dadas pelas Eqs. 15 e 16 (vamos usar as formas padrão dessas equações). - Não há indicação de forças externas atuando durante o choque (situação isolada), então podemos usar conservação do momento linear quando for necessário.
Passo 2
Conceito e definição úteis (muito didático): o que é a velocidade do centro de massa e por que ela tem a forma pedida?
- Definição operacional: a velocidade do centro de massa de um sistema de duas partículas é a razão entre o momento linear total do sistema e a massa total do sistema. Em fórmulas:
- Aqui
é o momento linear total (soma dos momentos das partículas) e é a massa total do sistema. Para duas partículas,
- Explicando as letras:
e são massas (números positivos), e são velocidades (podem ser positivas ou negativas dependendo do sentido). No item (a) usaremos e (as velocidades iniciais).
Passo 3
Aplicando a definição ao caso inicial (passo direto para (a)):
- O momento total antes do choque é
- A massa total é
. - Logo, pela definição do centro de massa,
- Reescrevendo para enfatizar a forma pedida (pesos
e ):
Isto resolve o item (a): a expressão é simplesmente a definição de velocidade do centro de massa aplicada às duas partículas. É intuitivo: cada velocidade é ponderada pela sua massa relativa.
Passo 4
Preparação para o item (b): apresentar as Eqs. 15 e 16 que dão
e
numa colisão elástica unidimensional.
As formas padrão (Eqs. 15 e 16) são:
Breve comentário didático: essas fórmulas surgem de resolver simultaneamente as equações de conservação do momento linear e da energia cinética para colisão elástica entre duas partículas numa dimensão. Aqui vamos simplesmente usá-las para verificar o comportamento do centro de massa.
Passo 5
Objetivo do cálculo do item (b): mostrar que a velocidade do centro de massa calculada com as velocidades finais
é igual àquela calculada com as velocidades iniciais. Procedemos substituindo
e
pelas Eqs. 15 e 16 na expressão de
e simplificando passo a passo.
Começamos substituindo:
Passo 6
Agora vamos organizar e fatorar o denominador comum
. Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
Aqui eu simplesmente multipliquei cada termo interno pelo fator
ou
e juntei sob o mesmo denominador.
Passo 7
Agrupamos os termos que multiplicam
e os que multiplicam
separadamente (muito importante para ver a simplificação).
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Essas manipulações usam apenas distributiva e fatoração comum, explicando passo a passo como recolher termos.
Passo 8
Substituindo estes resultados na expressão do passo 6, obtemos:
Agora fatoramos
do numerador:
Passo 9
Dividindo ambos os lados por
para obter a velocidade do centro de massa após o choque:
Isto mostra que a velocidade do centro de massa calculada com as velocidades finais é exatamente a mesma que a calculada com as velocidades iniciais:
. Em palavras: o choque interno (assumindo ausência de forças externas) não altera a velocidade do centro de massa do sistema, e a forma ponderada por massas persiste.
Passo 10
Resumo interpretativo e incentivo (curto, didático e motivador):
- O item (a) veio direto da definição física: velocidade do centro de massa = momento total sobre massa total.
- O item (b) mostrou, com substituição direta das fórmulas finais de uma colisão elástica, que a combinação linear ponderada por massas das velocidades é invariante pelo choque — isso é reflexo da conservação do momento linear. Você viu passo a passo como agrupar termos e fatorar para chegar à igualdade. Mandou bem por pedir a resolução detalhada!