1. (a) Mostre numa colisão elástica unidimensional a velocidade do centro de massa de duas partículas, de massas m_{1} e m_{2}, que têm velocidade inicial v_{1} e v_{2}, respectivamente, é expressa por
v_{C M}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} v_{1 i}+\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{2 i}
(b) Aplique as Eqs. 15 e 16 para v_{1 f} e v_{2 f} (as velocidades das partículas após o choque), a fim de deduzir o mesmo resultado para v_{C M} após o impacto.
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Passo 1

O enunciado tem duas partes. Vou listar o que ele pede e quais informações foram dadas, ponto a ponto, para ficar bem claro.
  • Pergunta (a): Mostrar que, numa colisão elástica unidimensional entre duas partículas de massas m_{1} e m_{2} e velocidades iniciais v_{1i} e v_{2i}, a velocidade do centro de massa é
v_{C M}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} v_{1 i}+\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{2 i}.
  • Pergunta (b): Usar as Eqs. 15 e 16 (as fórmulas canônicas para as velocidades finais numa colisão elástica unidimensional) para v_{1f} e v_{2f} e deduzir que a expressão do item (a) vale também após o impacto (ou seja, mostrar que a velocidade do centro de massa depois do choque tem o mesmo valor).
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
  • Duas partículas, massas m_{1} e m_{2}.
  • Velocidades iniciais \;v_{1i} e \;v_{2i}.
  • Após colisão elástica, existem velocidades finais \;v_{1f} e \;v_{2f} dadas pelas Eqs. 15 e 16 (vamos usar as formas padrão dessas equações).
  • Não há indicação de forças externas atuando durante o choque (situação isolada), então podemos usar conservação do momento linear quando for necessário.

Passo 2

Conceito e definição úteis (muito didático): o que é a velocidade do centro de massa e por que ela tem a forma pedida?
  • Definição operacional: a velocidade do centro de massa de um sistema de duas partículas é a razão entre o momento linear total do sistema e a massa total do sistema. Em fórmulas:
v_{C M}=\frac{p_{\text{total}}}{M_{\text{total}}}.
  • Aqui p_{\text{total}} é o momento linear total (soma dos momentos das partículas) e M_{\text{total}} é a massa total do sistema. Para duas partículas,
p_{\text{total}}=m_{1} v_{1}+m_{2} v_{2}, \qquad M_{\text{total}}=m_{1}+m_{2}.
  • Explicando as letras: m_{1} e m_{2} são massas (números positivos), v_{1} e v_{2} são velocidades (podem ser positivas ou negativas dependendo do sentido). No item (a) usaremos v_{1}=v_{1i} e v_{2}=v_{2i} (as velocidades iniciais).

Passo 3

Aplicando a definição ao caso inicial (passo direto para (a)):
  • O momento total antes do choque é
p_{\text{total, i}}=m_{1} v_{1i}+m_{2} v_{2i}.
  • A massa total é \;m_{1}+m_{2}.
  • Logo, pela definição do centro de massa,
v_{C M}=\frac{p_{\text{total, i}}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{m_{1} v_{1i}+m_{2} v_{2i}}{m_{1}+m_{2}}.
  • Reescrevendo para enfatizar a forma pedida (pesos m_1/(m_1+m_2) e m_2/(m_1+m_2)):
v_{C M}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} v_{1 i}+\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{2 i}.
Isto resolve o item (a): a expressão é simplesmente a definição de velocidade do centro de massa aplicada às duas partículas. É intuitivo: cada velocidade é ponderada pela sua massa relativa.

Passo 4

Preparação para o item (b): apresentar as Eqs. 15 e 16 que dão \;v_{1f} e \;v_{2f} numa colisão elástica unidimensional.
As formas padrão (Eqs. 15 e 16) são:
v_{1f}=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1i}+\frac{2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{2i},
v_{2f}=\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1i}+\frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{2i}.
Breve comentário didático: essas fórmulas surgem de resolver simultaneamente as equações de conservação do momento linear e da energia cinética para colisão elástica entre duas partículas numa dimensão. Aqui vamos simplesmente usá-las para verificar o comportamento do centro de massa.

Passo 5

Objetivo do cálculo do item (b): mostrar que a velocidade do centro de massa calculada com as velocidades finais
v_{C M}'=\frac{m_{1} v_{1f}+m_{2} v_{2f}}{m_{1}+m_{2}}
é igual àquela calculada com as velocidades iniciais. Procedemos substituindo v_{1f} e v_{2f} pelas Eqs. 15 e 16 na expressão de m_{1} v_{1f}+m_{2} v_{2f} e simplificando passo a passo.
Começamos substituindo:
m_{1} v_{1f}+m_{2} v_{2f} = m_{1}\!\left(\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{1i}+\frac{2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{2i}\right) + m_{2}\!\left(\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{1i}+\frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{2i}\right).

Passo 6

Agora vamos organizar e fatorar o denominador comum \;m_{1}+m_{2}. Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
m_{1} v_{1f}+m_{2} v_{2f} = \frac{1}{m_{1}+m_{2}}\Big[ m_{1}(m_{1}-m_{2})v_{1i}+2m_{1}m_{2}v_{2i}+2m_{1}m_{2}v_{1i}+m_{2}(m_{2}-m_{1})v_{2i} \Big].
Aqui eu simplesmente multipliquei cada termo interno pelo fator m_1 ou m_2 e juntei sob o mesmo denominador.

Passo 7

Agrupamos os termos que multiplicam v_{1i} e os que multiplicam v_{2i} separadamente (muito importante para ver a simplificação).
  • Coeficiente de v_{1i}:
m_{1}(m_{1}-m_{2}) + 2m_{1}m_{2} = m_{1}\big((m_{1}-m_{2})+2m_{2}\big) = m_{1}(m_{1}+m_{2}).
  • Coeficiente de v_{2i}:
2m_{1}m_{2} + m_{2}(m_{2}-m_{1}) = m_{2}\big(2m_{1}+(m_{2}-m_{1})\big) = m_{2}(m_{1}+m_{2}).
Essas manipulações usam apenas distributiva e fatoração comum, explicando passo a passo como recolher termos.

Passo 8

Substituindo estes resultados na expressão do passo 6, obtemos:
m_{1} v_{1f}+m_{2} v_{2f} = \frac{1}{m_{1}+m_{2}}\Big[ m_{1}(m_{1}+m_{2})v_{1i} + m_{2}(m_{1}+m_{2})v_{2i} \Big].
Agora fatoramos (m_{1}+m_{2}) do numerador:
m_{1} v_{1f}+m_{2} v_{2f} = \frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\Big[ m_{1}v_{1i} + m_{2}v_{2i} \Big] = m_{1}v_{1i} + m_{2}v_{2i}.

Passo 9

Dividindo ambos os lados por m_{1}+m_{2} para obter a velocidade do centro de massa após o choque:
v_{C M}'=\frac{m_{1} v_{1f}+m_{2} v_{2f}}{m_{1}+m_{2}} =\frac{m_{1} v_{1i}+m_{2} v_{2i}}{m_{1}+m_{2}}.
Isto mostra que a velocidade do centro de massa calculada com as velocidades finais é exatamente a mesma que a calculada com as velocidades iniciais: v_{C M}'=v_{C M}. Em palavras: o choque interno (assumindo ausência de forças externas) não altera a velocidade do centro de massa do sistema, e a forma ponderada por massas persiste.

Passo 10

Resumo interpretativo e incentivo (curto, didático e motivador):
  • O item (a) veio direto da definição física: velocidade do centro de massa = momento total sobre massa total.
  • O item (b) mostrou, com substituição direta das fórmulas finais de uma colisão elástica, que a combinação linear ponderada por massas das velocidades é invariante pelo choque — isso é reflexo da conservação do momento linear. Você viu passo a passo como agrupar termos e fatorar para chegar à igualdade. Mandou bem por pedir a resolução detalhada!

Resposta

v_{C M}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} v_{1 i}+\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{2 i}
\frac{m_{1} v_{1f}+m_{2} v_{2f}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{m_{1} v_{1i}+m_{2} v_{2i}}{m_{1}+m_{2}}

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