1.84 Dados a=2 i-j+2 k e b=i+3 j, construa uma base ortonormal negativa u, v, w sendo u paralelo ao vetor a e v coplanar com a e b.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
a = 2i - j + 2k e b = i + 3j,
e pede uma base ortonormal negativa u,v,w tal que
  1. u seja paralelo a a.
  2. v seja coplanar com a e b.
O conteúdo é a construção de base ortonormal por Gram–Schmidt e o sinal de “negativa” indica que queremos uma base de orientação esquerda (isto é, w deve ser vtimesu em vez de utimesv).

Passo 2

Normalizamos a para obter u.
O comprimento de a é
|a| = raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz4+1+4 = 3
Logo,
u = a|a| = 13(2,,-1,,2) = l(tfrac23,,-tfrac13,,tfrac23r)

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt em b usando u.
O componente de b na direção de u é
(bcdotu) ,u com bcdotu = (1,3,0)cdotl(tfrac23,-tfrac13,tfrac23r) = tfrac23 -1 + 0 = -tfrac13
Então o vetor ortogonal a u é
v' = b - (bcdotu),u = (1,3,0) - l(-tfrac13r)l(tfrac23,-tfrac13,tfrac23r) = l(tfrac119,,tfrac269,,tfrac29r)
O seu comprimento é
|v'| = 19raiz11^2 + 26^2 + 2^2 = raiz8019 = 3raiz899 = raiz893
Portanto,
v = v'|v'| = (11/9,,26/9,,2/9)raiz89/3 = l(tfrac113raiz89,,tfrac263raiz89,,tfrac23raiz89r)

Passo 4

Para ter orientação negativa, definimos
w = vtimesu,
em vez de utimesv. Calculando o produto vetorial,
w = i&j&k tfrac113raiz89 & tfrac263raiz89 & tfrac23raiz89 tfrac23 & -tfrac13 & tfrac23 = l(tfrac6raiz89,,-tfrac2raiz89,,-tfrac7raiz89r)
Verifica-se facilmente que |w|=1 e que u,v,w é ortonormal de orientação esquerda.

Resposta

u=l(tfrac23,-tfrac13,tfrac23r), v=l(tfrac113raiz89,tfrac263raiz89,tfrac23raiz89r), w=l(tfrac6raiz89,-tfrac2raiz89,-tfrac7raiz89r)

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