1.84 Dados e , construa uma base ortonormal negativa sendo paralelo ao vetor e coplanar e .
Passo 1
O enunciado dá os vetores e ,
e pede uma base ortonormal negativa tal que
seja paralelo a .
seja coplanar com e .
O conteúdo é a construção de base ortonormal por Gram–Schmidt e o sinal de “negativa” indica que queremos uma base de orientação esquerda (isto é, deve ser em vez de ).
Passo 2
Normalizamos para obter .
O comprimento de é
Logo,
Passo 3
Aplicamos Gram–Schmidt em usando .
O componente de na direção de é
Então o vetor ortogonal a é
O seu comprimento é
Portanto,
Passo 4
Para ter orientação negativa, definimos
em vez de . Calculando o produto vetorial,
Verifica-se facilmente que |w|=1 e que u,v,w é ortonormal de orientação esquerda.