(Soma direta externa) Sejam (
) e (
) espaços normados.
(a) Mostre que
dada por
é uma norma em
. Mostre também que tal norma gera a topologia produto em
.
(b) Se
e
são espaços de Banach, mostre que
é um espaço de Banach. (
) é chamado de soma direta externa de
e
.
(a) Mostre que
(b) Se
Passo 1
O enunciado considera dois espaços normados
e
e define em
a aplicação
Precisamos mostrar em (a) que isso é de fato uma norma em
e que a topologia que ela gera coincide com a topologia produto. Em (b) mostraremos que, se
e
são Banach, então
também é um espaço de Banach. Vamos usar definições de norma, de topologia produto e de completude.
Passo 2
(Propriedade de positividade e definitude)
Para todo temos
e
, logo
Para todo
Se
então
, o que força
e
. Como cada norma só anula o vetor zero, segue
e
. Reciprocamente, se
então claramente
.
Passo 3
(Homogeneidade)
Seja (
ou
). Usando
e
obtemos
Seja
Passo 4
(Desigualdade triangular)
Tomemos e
em
. Então
Tomemos
usando as triangulares em
e em
:
segue
Ou seja,
Passo 5
(Topologia produto)
A norma gera a métrica
A norma
Uma bola aberta centro
e raio
é
Como as bolas do produto geram a topologia produto e toda bola em
é exatamente um produto de bolas em
e
, concluímos que a topologia induzida por
é a topologia produto.
Passo 6
(Completude)
Seja uma sequência de Cauchy em
. Então para todo
existe
tal que para
Seja
Isto implica, em particular, que
é Cauchy em
e
é Cauchy em
. Se
e
são Banach, existem limites
e
. Então
ou seja,
converge em
. Logo
é completo sob
, isto é, é Banach.
Resposta
(a)
satisfaz as três propriedades de norma e as bolas abertas dadas por ela são exatamente produtos de bolas em
e
, de modo que geram a topologia produto.
(b) Se e
são Banach, então toda sequência de Cauchy em
projeta-se em sequências de Cauchy em
e em
, que convergem. Daí a sequência original converge em
, mostrando que
é Banach.
(b) Se