(Soma direta externa) Sejam ( X,|cdot| ) e ( Y,|cdot|0 ) espaços normados.
(a) Mostre que ||cdot|: X times Y R+dada por ||(x, y)| |=max |x|,|y|0 é uma norma em X times Y. Mostre também que tal norma gera a topologia produto em X times Y.
(b) Se X e Y são espaços de Banach, mostre que (X times Y,| | cdot| |) é um espaço de Banach. ( X times Y,| | cdot| | ) é chamado de soma direta externa de X e Y.

Passo 1

O enunciado considera dois espaços normados (X,|cdot|) e (Y,|cdot|0) e define em Xtimes Y a aplicação
||(x,y)|| ;=;maxl|x|,|y|0r
Precisamos mostrar em (a) que isso é de fato uma norma em Xtimes Y e que a topologia que ela gera coincide com a topologia produto. Em (b) mostraremos que, se X e Y são Banach, então l(Xtimes Y,||cdot||r) também é um espaço de Banach. Vamos usar definições de norma, de topologia produto e de completude.

Passo 2

(Propriedade de positividade e definitude)
Para todo (x,y)in Xtimes Y temos |x|>=0 e |y|0>=0, logo
||(x,y)|| ;=;max|x|,|y|0;>=0
Se ||(x,y)||=0 então max|x|,|y|0=0, o que força |x|=0 e |y|0=0. Como cada norma só anula o vetor zero, segue x=0 e y=0. Reciprocamente, se (x,y)=(0,0) então claramente ||(x,y)||=0.

Passo 3

(Homogeneidade)
Seja lambdainK ( R ou C). Usando |lambda x|=|lambda||x| e |lambda y|0=|lambda||y|0 obtemos
||(lambda x,lambda y)|| ;=;max|lambda x|,|lambda y|0 =max|lambda||x|,;|lambda||y|0 =|lambda|max|x|,|y|0 =|lambda|||(x,y)||

Passo 4

(Desigualdade triangular)
Tomemos (x1,y1) e (x2,y2) em Xtimes Y. Então
||(x1+x2,,y1+y2)|| =max|x1+x2|,|y1+y2|0
usando as triangulares em X e em Y:
|x1+x2|<=|x1|+|x2|, |y1+y2|0<=|y1|0+|y2|0,
segue
||(x1+x2,y1+y2)|| <=max|x1|+|x2|,|y1|0+|y2|0 <=max|x1|,|y1|0+max|x2|,|y2|0
Ou seja,
||(x1+x2,y1+y2)|| <=||(x1,y1)||+||(x2,y2)||

Passo 5

(Topologia produto)
A norma ||cdot|| gera a métrica
dl((x,y),(x',y')r) =||(x,y)-(x',y')|| =max|x-x'|,|y-y'|0
Uma bola aberta centro (x0,y0) e raio varepsilon>0 é
Bdl((x0,y0),varepsilonr) =l(x,y):max|x-x0|,|y-y0|0<varepsilonr =BX(x0,varepsilon)times BY(y0,varepsilon)
Como as bolas do produto geram a topologia produto e toda bola em d é exatamente um produto de bolas em X e Y, concluímos que a topologia induzida por ||cdot|| é a topologia produto.

Passo 6

(Completude)
Seja l((xn,yn)r) uma sequência de Cauchy em l(Xtimes Y,||cdot||r). Então para todo varepsilon>0 existe N tal que para m,n>= N
max|xn-xm|,|yn-ym|0<varepsilon
Isto implica, em particular, que (xn) é Cauchy em X e (yn) é Cauchy em Y. Se X e Y são Banach, existem limites xnto xin X e ynto yin Y. Então
||(xn,yn)-(x,y)|| =max|xn-x|,|yn-y|0longrightarrow0,
ou seja, (xn,yn) converge em Xtimes Y. Logo Xtimes Y é completo sob ||cdot||, isto é, é Banach.

Resposta

(a) ||(x,y)||=max|x|,|y|0 satisfaz as três propriedades de norma e as bolas abertas dadas por ela são exatamente produtos de bolas em X e Y, de modo que geram a topologia produto.
(b) Se X e Y são Banach, então toda sequência de Cauchy em (Xtimes Y,||cdot||) projeta-se em sequências de Cauchy em X e em Y, que convergem. Daí a sequência original converge em Xtimes Y, mostrando que (Xtimes Y,||cdot||) é Banach.

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