Como 1n+1to0 quando ntoinfty, concluímos que para todo varepsilon>0 existe N tal que, para m,n>= N,
|x^(m) - x^(n)|infty < varepsilon,
logo l(x^(n)r) é de Cauchy em |cdot|infty.
Passo 4
O limite em norma supremo desta sequência é
x = limntoinfty x^(n) = l(1,tfrac12,tfrac13,dotsr)
De fato, |x^(n)-x|infty=supk>n1k=1n+1to0.
Porém
sumk=1^infty l|xkr| = sumk=1^infty 1k = infty,
ou seja, xnotinell1. Portanto l(x^(n)r) não converge em ell1.
Resposta
O espaço l(ell1,|cdot|inftyr) não é completo, pois existe uma sequência de Cauchy em norma do supremo que não converge dentro de ell1. Portanto não é Banach.