Mostre que ell1 equipado com a norma do sup não é um espaço de Banach.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o espaço
ell1 = lx=(xk)k=1^infty mid sumk=1^infty |xk|<inftyr neq equipado com a norma do supremo
|x|infty = supkinN |xk|
não é um espaço de Banach.
Ou seja, precisamos encontrar uma sequência de Cauchy em l(ell1,|cdot|inftyr) que não converge em ell1.

Passo 2

Definimos a sequência
isto é, o -ésimo termo de vale
Cada pois tem somente termos não nulos e .

Passo 3

Mostramos que l(x^(n)r) é de Cauchy em |cdot|infty. Dados m>n,
|x^(m) - x^(n)|infty = supkinN l|x^(m)k-x^(n)kr| = supk=n+1,dots,m 1k = 1n+1
Como 1n+1to0 quando ntoinfty, concluímos que para todo varepsilon>0 existe N tal que, para m,n>= N,
|x^(m) - x^(n)|infty < varepsilon,
logo l(x^(n)r) é de Cauchy em |cdot|infty.

Passo 4

O limite em norma supremo desta sequência é
x = limntoinfty x^(n) = l(1,tfrac12,tfrac13,dotsr)
De fato,
|x^(n)-x|infty=supk>n1k=1n+1to0.
Porém
sumk=1^infty l|xkr| = sumk=1^infty 1k = infty,
ou seja, xnotinell1. Portanto l(x^(n)r) não converge em ell1.

Resposta

O espaço l(ell1,|cdot|inftyr) não é completo, pois existe uma sequência de Cauchy em norma do supremo que não converge dentro de ell1. Portanto não é Banach.

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