Considere a definição de estendida para . Mostre que neste caso a “bola” unitária não é convexa. Conclua que não é um espaço normado se .
Passo 1
O enunciado estende o espaço para , definindo para a “quasi-norma”
e a bola unitária
Queremos mostrar que não é convexa e, a partir disso, concluir que não pode ser um espaço normado quando .
Passo 2
Lembramos que, em qualquer espaço normado, a bola unitária é sempre convexa: se têm norma , então todo ponto (com ) também tem norma . Logo, basta encontrar dois vetores em cujo ponto médio não pertença a .
Passo 3
Tomemos os vetores canônicos
Claro que
então . Consideremos o ponto médio
Calculamos
Como 0<p<1, temos 1-p>0 e assim 2^1-p>1. Logo |z|p=(2^1-p)^1/p>1, ou seja, znotin B.
Passo 4
Encontramos e1,e2in B cujo ponto médio não está em B. Isso prova que B não é convexa. Como a convexidade da bola unitária é característica de uma norma (equivalente à desigualdade triangular), concluímos que a função |cdot|p não satisfaz a desigualdade triangular quando 0<p<1. Portanto ellp não é um espaço normado nesse caso.
Resposta
A bola unitária de ellp com 0<p<1 não é convexa, logo ellp não é um espaço normado para 0<p<1.