Considere a definição de ellp estendida para 0<p<1. Mostre que neste caso a “bola” unitária não é convexa. Conclua que ellp não é um espaço normado se 0<p<1.

Passo 1

O enunciado estende o espaço ellp para 0<p<1, definindo para x=(xi)i=1^infty a “quasi-norma”
|x|p = l(sumi=1^infty|xi|^pr)^1/p
e a bola unitária
B = ,xinellp mid |x|p<=1
Queremos mostrar que B não é convexa e, a partir disso, concluir que ellp não pode ser um espaço normado quando 0<p<1.

Passo 2

Lembramos que, em qualquer espaço normado, a bola unitária é sempre convexa: se u,v têm norma <=1, então todo ponto lambda u+(1-lambda)v (com 0<=lambda<=1) também tem norma <=1. Logo, basta encontrar dois vetores em B cujo ponto médio não pertença a B.

Passo 3

Tomemos os vetores canônicos
e1 = (1,0,0,dots), e2 = (0,1,0,dots)
Claro que
|e1|p = l(|1|^pr)^1/p = 1, |e2|p = 1,
então e1,e2in B. Consideremos o ponto médio
z = e1+e22 = l(tfrac12,tfrac12,0,dotsr)
Calculamos
|z|p^p = sumi=1^inftyl|zir|^p = l|tfrac12r|^p + l|tfrac12r|^p = 2l(tfrac12r)^p = 2^1-p
Como 0<p<1, temos 1-p>0 e assim 2^1-p>1. Logo |z|p=(2^1-p)^1/p>1, ou seja, znotin B.

Passo 4

Encontramos e1,e2in B cujo ponto médio não está em B. Isso prova que B não é convexa. Como a convexidade da bola unitária é característica de uma norma (equivalente à desigualdade triangular), concluímos que a função |cdot|p não satisfaz a desigualdade triangular quando 0<p<1. Portanto ellp não é um espaço normado nesse caso.

Resposta

A bola unitária de ellp com 0<p<1 não é convexa, logo ellp não é um espaço normado para 0<p<1.

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