(q. 842 / \mathrm{p} .281 ) Um cone tem 320 \pi \mathrm{~m}^{2} de área total e 12 m de altura. Calcule o volume e a área lateral do tronco obtido pela seção desse cone por um plano paralelo à base e distante 9 m dessa base.

Passo 1

O enunciado dá um cone de altura 12,m e área total
\pi R^2 + \pi R \ell = 320\pi,
onde R é o raio da base e \ell a geratriz. Cortamos esse cone por um plano paralelo à base, a 9,m da base, formando um tronco de altura h=9,m e um pequeno cone de altura 12-9=3,m no vértice. Vamos achar primeiro R e \ell, depois a razão de semelhança, e enfim o volume e a área lateral do tronco.

Passo 2

Do triângulo gerador do cone,
\ell = \sqrt{R^2 + 12^2} = \sqrt{R^2 + 144}.
A área total é
\pi R^2 + \pi R\,\ell = 320\pi \;\Longrightarrow\; R^2 + R\sqrt{R^2+144} = 320.
Resolvendo numericamente essa equação positiva, encontra-se
R \approx 11{,}43\text{ m}, \quad \ell = \sqrt{11{,}43^2 + 144}\approx 16{,}57\text{ m}.

Passo 3

Pela semelhança de triângulos, o pequeno cone (altura 3) tem raio
r = R\cdot\frac{3}{12} = \frac{R}{4}\approx \frac{11{,}43}{4} = 2{,}86\text{ m}.
O tronco tem altura h=9,m, bases de raios R e r.

Passo 4

Usamos a fórmula do volume de tronco de cone:
V = \frac{\pi h}{3}\bigl(R^2 + R\,r + r^2\bigr).
Substituindo h=9, R\approx11{,}43, r\approx2{,}86:
R^2\approx130{,}6,\quad Rr\approx32{,}7,\quad r^2\approx8{,}2,
V \approx \frac{\pi\cdot9}{3}\,(130{,}6 + 32{,}7 + 8{,}2) =3\pi\cdot171{,}5 \approx 514{,}5\pi\text{ m}^3 \approx1\,615\text{ m}^3.

Passo 5

A área lateral do tronco é
A_{\rm lat} = \pi\,(R + r)\,s,
onde
s = \sqrt{(R - r)^2 + h^2} = \sqrt{\bigl(11{,}43 - 2{,}86\bigr)^2 + 9^2} \approx 12{,}42\text{ m}.
Logo
A_{\rm lat}\approx \pi\,(11{,}43 + 2{,}86)\cdot12{,}42 = \pi\cdot14{,}29\cdot12{,}42 \approx177{,}5\pi\text{ m}^2 \approx 558\text{ m}^2.

Resposta

Volume do tronco: V\approx514{,}5\pi\text{ m}^3\approx1\,615\text{ m}^3.
Área lateral do tronco: A_{\rm lat}\approx177{,}5\pi\text{ m}^2\approx558\text{ m}^2.

Exercícios relacionados