(q.945/p.306) Calcule a razão entre o volume de um cone equilátero de raio R e o do cilindro de revolução nele inscrito cuja geratriz seja igual ao raio da base.
Passo 1
O enunciado pede a razão entre o volume de um cone “equilátero” de raio
e o volume de um cilindro reto inscrito nesse cone, sujeito à condição de que a geratriz do cilindro (isto é, a altura do cilindro) seja igual ao raio de sua base. Vamos usar:
– para o cone, a definição de “equilátero” vem de cortar o cone por um plano que passa pelo eixo, obtendo um triângulo equilátero com base e lados iguais (as geratrizes do cone);
– semelhança de triângulos para relacionar as dimensões do cilindro inscrito;
– fórmulas de volume de cone e de cilindro.
– para o cone, a definição de “equilátero” vem de cortar o cone por um plano que passa pelo eixo, obtendo um triângulo equilátero com base
– semelhança de triângulos para relacionar as dimensões do cilindro inscrito;
– fórmulas de volume de cone e de cilindro.
Passo 2
Determine as dimensões do cone equilátero. Se a base tem raio
, a base do triângulo axial mede
. Como ele é equilátero, cada lado vale também
, logo a geratriz do cone é
A altura
do cone satisfaz
Passo 3
Seja
a altura do cilindro inscrito e
o seu raio. Pela semelhança entre o triângulo axial do cone e o triângulo que vai do centro da base do cilindro ao vértice do cone passando pela aresta superior do cilindro, temos
Passo 4
Impondo a condição “geratriz do cilindro = raio da base do cilindro”, ou seja
, substituímos na relação acima:
Logo
Passo 5
Substituindo
em
e
, obtemos
Passo 6
Agora os volumes:
A razão entre os volumes é
Expandindo,
, logo a razão final é