(q.945/p.306) Calcule a razão entre o volume de um cone equilátero de raio R e o do cilindro de revolução nele inscrito cuja geratriz seja igual ao raio da base.

Passo 1

O enunciado pede a razão entre o volume de um cone “equilátero” de raio \,R e o volume de um cilindro reto inscrito nesse cone, sujeito à condição de que a geratriz do cilindro (isto é, a altura do cilindro) seja igual ao raio de sua base. Vamos usar:
– para o cone, a definição de “equilátero” vem de cortar o cone por um plano que passa pelo eixo, obtendo um triângulo equilátero com base 2R e lados iguais (as geratrizes do cone);
– semelhança de triângulos para relacionar as dimensões do cilindro inscrito;
– fórmulas de volume de cone e de cilindro.

Passo 2

Determine as dimensões do cone equilátero. Se a base tem raio R, a base do triângulo axial mede 2R. Como ele é equilátero, cada lado vale também 2R, logo a geratriz do cone é
l = 2R.
A altura H do cone satisfaz
H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{(2R)^2 - R^2} = \sqrt{3}\,R.

Passo 3

Seja x a altura do cilindro inscrito e r o seu raio. Pela semelhança entre o triângulo axial do cone e o triângulo que vai do centro da base do cilindro ao vértice do cone passando pela aresta superior do cilindro, temos
\frac{r}{R} \;=\;\frac{H - x}{H} \quad\Longrightarrow\quad r = R\,\frac{H - x}{H}.

Passo 4

Impondo a condição “geratriz do cilindro = raio da base do cilindro”, ou seja x = r, substituímos na relação acima:
x = R\,\frac{H - x}{H} \quad\Longrightarrow\quad x\,(H + R) = R\,H \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{R\,H}{H + R}.
Logo
r = x = \frac{R\,H}{H + R}.

Passo 5

Substituindo H = \sqrt{3}\,R em x e r, obtemos
x = r = R\,\frac{\sqrt{3}\,R}{\sqrt{3}\,R + R} = R\,\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}.

Passo 6

Agora os volumes:
V_{\rm cone} = \frac{1}{3}\,\pi R^2 H = \frac{1}{3}\,\pi R^2 (\sqrt{3}\,R) = \frac{\pi R^3\sqrt{3}}{3},
V_{\rm cil} = \pi\,r^2\,x = \pi\,x^3 = \pi\,\Bigl(R\,\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}\Bigr)^{\!3} = \pi R^3\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}\Bigr)^{\!3}.
A razão entre os volumes é
\frac{V_{\rm cone}}{V_{\rm cil}} = \frac{\displaystyle \frac{\pi R^3\sqrt{3}}{3}} {\displaystyle \pi R^3\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}\Bigr)^{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\;\Bigl(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\Bigr)^{\!3} = \frac{(\sqrt{3}+1)^3}{9}.
Expandindo, (\sqrt{3}+1)^3=10+6\sqrt{3}, logo a razão final é
\frac{V_{\rm cone}}{V_{\rm cil}} = \frac{10 + 6\sqrt{3}}{9}.

Resposta

\frac{V_{\rm cone}}{V_{\rm cilindro}} = \frac{10 + 6\sqrt{3}}{9}.

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