87 Para um show de rock foi montado um palco plano e horizontal coberto por uma estrutura em forma de fuso esférico, limitado por duas semicircunferências,
e
, com
sobre o palco.
Dado que o raio do fuso é 20 m e que seu ângulo diedro é
, responda às questões seguintes:
a) Devido a dobras e sobreposições, a área da lona para a cobertura deve ter
a mais que a área do fuso. Qual é a área dessa lona, em metro quadrado?
b) Qual é a medida do ângulo entre o plano do palco e o plano que contém a semicircunferência
?
c) No ponto mais alto da semicircunferência
será instalado um canhão de luz. Qual é a altura desse ponto em relação ao plano do palco?
a) Devido a dobras e sobreposições, a área da lona para a cobertura deve ter
b) Qual é a medida do ângulo entre o plano do palco e o plano que contém a semicircunferência
c) No ponto mais alto da semicircunferência
Passo 1
O enunciado descreve uma cobertura em forma de fuso esférico (ou “lune”) de raio
m, obtido ao cortar uma esfera por dois planos que se interceptam com ângulo diedro
. As semicircunferências
e
são as arestas desse fuso;
fica no plano do palco (horizontal) e
está num plano que faz ângulo diedro de
com o plano do palco.
a) Pedem a área da lona, que é 10 % maior que a área do fuso esférico.
b) Pedem o ângulo entre o plano do palco e o plano que contém .
c) Pedem a altura do ponto mais alto de em relação ao plano do palco.
a) Pedem a área da lona, que é 10 % maior que a área do fuso esférico.
b) Pedem o ângulo entre o plano do palco e o plano que contém
c) Pedem a altura do ponto mais alto de
Passo 2
A área de um fuso esférico de raio
cortado por dois planos com ângulo diedro
(em radianos) é
Aqui
rad e
, logo
Passo 3
Como a lona precisa ter 10 % a mais de área, multiplicamos por
:
Passo 4
O enunciado já informa que o ângulo diedro entre o plano do palco e o plano que contém
é
.
Passo 5
Para achar a altura do ponto mais alto de
, notamos que
é um grande círculo num plano que faz ângulo de
com o horizontal. O ângulo agudo entre esse plano e o horizontal vale
.
Numa circunferência de raio , o ponto mais alto atinge altura
Numa circunferência de raio
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)