87 Para um show de rock foi montado um palco plano e horizontal coberto por uma estrutura em forma de fuso esférico, limitado por duas semicircunferências, S1 e S2, com S1 sobre o palco.
Dado que o raio do fuso é 20 m e que seu ângulo diedro é 120^circ, responda às questões seguintes:
a) Devido a dobras e sobreposições, a área da lona para a cobertura deve ter 10 % a mais que a área do fuso. Qual é a área dessa lona, em metro quadrado?
b) Qual é a medida do ângulo entre o plano do palco e o plano que contém a semicircunferência S2 ?
c) No ponto mais alto da semicircunferência S2 será instalado um canhão de luz. Qual é a altura desse ponto em relação ao plano do palco?

Passo 1

O enunciado descreve uma cobertura em forma de fuso esférico (ou “lune”) de raio R=20 m, obtido ao cortar uma esfera por dois planos que se interceptam com ângulo diedro phi=120^circ. As semicircunferências S1 e S2 são as arestas desse fuso; S1 fica no plano do palco (horizontal) e S2 está num plano que faz ângulo diedro de 120^circ com o plano do palco.
a) Pedem a área da lona, que é 10 % maior que a área do fuso esférico.
b) Pedem o ângulo entre o plano do palco e o plano que contém S2.
c) Pedem a altura do ponto mais alto de S2 em relação ao plano do palco.

Passo 2

A área de um fuso esférico de raio R cortado por dois planos com ângulo diedro phi (em radianos) é
Arm fuso=2,phi,R^2
Aqui phi=120^circ=tfrac2pi3 rad e R=20, logo
Arm fuso =2cdot2pi3cdot 20^2 =4pi3cdot 400 =1600pi3 m^2

Passo 3

Como a lona precisa ter 10 % a mais de área, multiplicamos por 1,1:
Arm lona =1,1;Arm fuso =1,1;1600pi3 =1760pi3 m^2 approx 1843 m^2

Passo 4

O enunciado já informa que o ângulo diedro entre o plano do palco e o plano que contém S2 é phi=120^circ.

Passo 5

Para achar a altura do ponto mais alto de S2, notamos que S2 é um grande círculo num plano que faz ângulo de 120^circ com o horizontal. O ângulo agudo entre esse plano e o horizontal vale 180^circ-120^circ=60^circ.
Numa circunferência de raio R, o ponto mais alto atinge altura
h=Rsin(60^circ)=20cdotraiz32=10raiz3 m approx17,32 m

Resposta

a) 1760pi3approx1843 m^2
b) 120^circ
c) 10raiz3approx17,32 m

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