Use a Transformada de Laplace para determinar as soluções dos seguintes sistemas de equagöes diferesciais ( y=y(t), x=x(t) ) que satisfazem às condições iniciais dadas.
l y^prime=x x^prime=y x(0)=0 y(0)=1

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema de duas equações diferenciais acopladas de primeira ordem
y' = x, x' = y,
com condições iniciais x(0)=0 e y(0)=1.
O conteúdo aqui é o uso da transformada de Laplace para transformar o sistema em um sistema algébrico no domínio s e depois aplicar a transformada inversa para voltar ao domínio do tempo.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada equação, lembrando que
Ly'(s) = sY(s) - y(0), Lx'(s) = sX(s) - x(0)
Na primeira equação y' = x obtemos
sY(s) - y(0) = X(s)
Como y(0)=1, isso dá
sY(s) - 1 = X(s)
Na segunda equação x' = y obtemos
sX(s) - x(0) = Y(s)
Como x(0)=0, isso dá
sX(s) = Y(s)

Passo 3

Agora resolvemos o sistema algébrico
X(s) = sY(s) - 1, Y(s) = sX(s)
Substituindo Y(s)=sX(s) na primeira equação:
X(s) = sl(sX(s)r) - 1 Longrightarrow X(s) = s^2 X(s) - 1 Longrightarrow (1 - s^2)X(s) = -1
Longrightarrow X(s) = 1s^2 - 1
Em seguida
Y(s) = sX(s) = ss^2 - 1

Passo 4

Calculamos a transformada inversa conhecendo as tabelas usuais:
L^-1!l1s^2 - 1r(t) = sinh(t), L^-1!lss^2 - 1r(t) = cosh(t)
Portanto
x(t) = sinh(t), y(t) = cosh(t)

Resposta

x(t) = sinh(t)
y(t) = cosh(t)

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