6.88 • CALC Um objeto é submetido à ação de diversas forças. Uma dessas forças é dada por
, uma força ao longo do eixo
cujo módulo depende da posição do objeto, sendo
. Calcule o trabalho realizado por essa força para os seguintes deslocamentos do objeto:
O objeto começa a se deslocar no ponto
e se move paralelamente ao eixo
até o ponto
.
O objeto começa a se deslocar no ponto
Passo 1
O enunciado fornece:
- A força é
. - O parâmetro
vale . - O deslocamento começa em
e termina em . - O movimento é paralelo ao eixo
(ou seja, permanece constante em ).
O que é pedido:
- Calcular o trabalho realizado por
ao longo desse deslocamento.
Passo 2
Definição e fórmula que vou usar (explicando cada termo):
- Trabalho de uma força variável ao longo de uma curva
:
Aqui
é a força em cada ponto do caminho,
é o vetor deslocamento infinitesimal e o ponto indica produto escalar (dot product).
- Produto escalar em coordenadas planas: se
e , então
Isso significa que só a componente da força na direção do deslocamento contribui para o trabalho.
Passo 3
Aplicando ao nosso problema:
- A força dada tem componentes
(apenas componente ). - Como o movimento é paralelo ao eixo
com fixo em , temos e varia de até .
Passo 4
Calcular o elemento de trabalho
:
Mas no nosso caminho
. Portanto
Passo 5
Integrar ao longo do caminho:
Logo o trabalho realizado pela força ao longo desse deslocamento é zero.
Passo 6
Interpretação física (útil para a prova): a força está sempre ao longo do eixo
enquanto o deslocamento ocorre ao longo do eixo
; força e deslocamento são perpendiculares em cada ponto, e quando força é perpendicular ao deslocamento o trabalho instantâneo é nulo, logo o trabalho total é zero. Força fazendo “empurrão lateral” enquanto o objeto sobe no
não realiza trabalho sobre o objeto nesse movimento.
Passo 7
Exemplo rápido de reforço (não pedido, só para fixar): se em vez disso o deslocamento fosse ao longo do eixo
mantendo
fixo, então
Com
e
isso daria
. Serve para ver a diferença quando o deslocamento tem componente na direção da força.