6.88 • CALC Um objeto é submetido à ação de diversas forças. Uma dessas forças é dada por overrightarrow{\boldsymbol{F}}=\alpha x y \hat{\imath}, uma força ao longo do eixo x cujo módulo depende da posição do objeto, sendo \alpha=2,50 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}. Calcule o trabalho realizado por essa força para os seguintes deslocamentos do objeto:
O objeto começa a se deslocar no ponto (x=2,00 \mathrm{~m}, y=0) e se move paralelamente ao eixo y até o ponto (x=2,00 \mathrm{~m}, y=3,00 \mathrm{~m}).

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A força é \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=\alpha x y\,\hat{\imath}.
  • O parâmetro \alpha vale \alpha=2,50\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • O deslocamento começa em (x=2,00\\ \mathrm{m},\;y=0) e termina em (x=2,00\\ \mathrm{m},\;y=3,00\\ \mathrm{m}).
  • O movimento é paralelo ao eixo y (ou seja, x permanece constante em 2{,}00\\ \mathrm{m}).
O que é pedido:
  • Calcular o trabalho realizado por \overrightarrow{\boldsymbol{F}} ao longo desse deslocamento.

Passo 2

Definição e fórmula que vou usar (explicando cada termo):
  • Trabalho de uma força variável ao longo de uma curva C:
W=\int_{C}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}.
Aqui \overrightarrow{F} é a força em cada ponto do caminho, d\overrightarrow{r} é o vetor deslocamento infinitesimal e o ponto indica produto escalar (dot product).
  • Produto escalar em coordenadas planas: se \overrightarrow{F}=(F_x,F_y) e d\overrightarrow{r}=(dx,dy), então
\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=F_x\,dx+F_y\,dy.
Isso significa que só a componente da força na direção do deslocamento contribui para o trabalho.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema:
  • A força dada tem componentes \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=(\alpha x y,\,0) (apenas componente x).
  • Como o movimento é paralelo ao eixo y com x fixo em 2{,}00\\ \mathrm{m}, temos dx=0 e dy varia de 0 até 3{,}00\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o elemento de trabalho \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}:
\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=(\alpha x y)\,dx+0\cdot dy=\alpha x y\,dx.
Mas no nosso caminho dx=0. Portanto
\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=0.

Passo 5

Integrar ao longo do caminho:
W=\int_{C}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=\int_{y=0}^{3} 0\;dy=0.
Logo o trabalho realizado pela força ao longo desse deslocamento é zero.

Passo 6

Interpretação física (útil para a prova): a força está sempre ao longo do eixo x enquanto o deslocamento ocorre ao longo do eixo y; força e deslocamento são perpendiculares em cada ponto, e quando força é perpendicular ao deslocamento o trabalho instantâneo é nulo, logo o trabalho total é zero. Força fazendo “empurrão lateral” enquanto o objeto sobe no y não realiza trabalho sobre o objeto nesse movimento.

Passo 7

Exemplo rápido de reforço (não pedido, só para fixar): se em vez disso o deslocamento fosse ao longo do eixo x mantendo y=3{,}00\\ \mathrm{m} fixo, então
W=\int_{x=0}^{2} \alpha x y\,dx=\alpha y\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}=\alpha y\cdot 2.
Com \alpha=2{,}50\\ \mathrm{N/m^{2}} e y=3{,}00\\ \mathrm{m} isso daria W=2{,}50\cdot 3{,}00\cdot 2=15{,}0\\ \mathrm{J}. Serve para ver a diferença quando o deslocamento tem componente na direção da força.

Resposta

0\\ \mathrm{J}

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