6.86 ⋯ A represa Grand Coulee possui 1.270 m de comprimento e 170 m de altura. A potência elétrica de saída obtida dos geradores em sua base é aproximadamente igual a 2.000 MW . Quantos metros cúbicos de água devem fluir por segundo do topo da represa para produzir essa potência, sabendo-se que
do trabalho realizado pela gravidade sobre a água é convertido em energia elétrica? (Cada metro cúbico de água possui massa de 1.000 kg .)
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
- Comprimento da represa:
(não será usado). - Altura da queda d’água:
. - Potência elétrica de saída:
. - Eficiência da conversão (gravidade → energia elétrica):
. - Massa de cada metro cúbico de água:
(ou seja, densidade ).
O que o exercício pede:
- Determinar quantos metros cúbicos de água devem passar por segundo pelo topo da represa para gerar a potência indicada.
Passo 2
Conceito físico e fórmula básica (explicadinha):
- A água que cai sofre variação de energia potencial gravitacional. A energia potencial perdida por uma massa
que cai uma altura é , onde: -
é a massa em , -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura em .
-
- Se a massa de água que passa por segundo é a vazão mássica
(em ), a potência potencial disponível (taxa de energia por segundo) é (unidade: , joule por segundo). - Nem toda essa potência potencial vira energia elétrica: só uma fração igual à eficiência
. Assim, a potência elétrica gerada é
Passo 3
Relacionar vazão volumétrica
com vazão mássica
e montar a fórmula para
:
- A vazão volumétrica
(em ) e a vazão mássica estão ligadas por
onde
é a densidade da água (aqui
).
- Substituindo em
obtemos
- Isolando
:
Aqui explicando cada símbolo:
-
: vazão volumétrica pedida ( ). -
: potência elétrica de saída ( ). -
: eficiência (número entre 0 e 1). -
: densidade da água ( ). -
: aceleração da gravidade ( ). -
: altura da queda ( ).
Passo 4
Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo (atenção às unidades):
- Converter a potência para watts:
- Eficiência
. - Densidade
. - Gravidade
. - Altura
.
Agora calcular o denominador:
Calcular em etapas:
Portanto o denominador vale
.
Agora a vazão:
Passo 5
Fazer a divisão e interpretar:
- Dividindo:
(Isto é, cerca de
.)
Pequeno cheque de sanidade (útil na prova): a vazão mássica correspondente é
A potência potencial
e multiplicando pela eficiência
retorna
, consistente com a potência elétrica dada.