6.86 ⋯ A represa Grand Coulee possui 1.270 m de comprimento e 170 m de altura. A potência elétrica de saída obtida dos geradores em sua base é aproximadamente igual a 2.000 MW . Quantos metros cúbicos de água devem fluir por segundo do topo da represa para produzir essa potência, sabendo-se que 92 \% do trabalho realizado pela gravidade sobre a água é convertido em energia elétrica? (Cada metro cúbico de água possui massa de 1.000 kg .)

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Comprimento da represa: 1{,}270\\ \mathrm{m} (não será usado).
  • Altura da queda d’água: 170\\ \mathrm{m}.
  • Potência elétrica de saída: 2{,}000\\ \mathrm{MW}.
  • Eficiência da conversão (gravidade → energia elétrica): 92\%.
  • Massa de cada metro cúbico de água: 1{,}000\\ \mathrm{kg} (ou seja, densidade \rho=1{,}000\\ \mathrm{kg/m^3}).
O que o exercício pede:
  • Determinar quantos metros cúbicos de água devem passar por segundo pelo topo da represa para gerar a potência indicada.

Passo 2

Conceito físico e fórmula básica (explicadinha):
  • A água que cai sofre variação de energia potencial gravitacional. A energia potencial perdida por uma massa m que cai uma altura h é m g h, onde:
    • m é a massa em \mathrm{kg},
    • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}),
    • h é a altura em \mathrm{m}.
  • Se a massa de água que passa por segundo é a vazão mássica \dot{m} (em \mathrm{kg/s}), a potência potencial disponível (taxa de energia por segundo) é \dot{E}= \dot{m}\,g\,h (unidade: \mathrm{W}, joule por segundo).
  • Nem toda essa potência potencial vira energia elétrica: só uma fração igual à eficiência \eta. Assim, a potência elétrica gerada P_{\rm el} é
P_{\rm el}=\eta\,\dot{m}\,g\,h.

Passo 3

Relacionar vazão volumétrica Q com vazão mássica \dot{m} e montar a fórmula para Q:
  • A vazão volumétrica Q (em \mathrm{m^3/s}) e a vazão mássica \dot{m} estão ligadas por
\dot{m}=\rho\,Q,
onde \rho é a densidade da água (aqui \rho=1{,}000\\ \mathrm{kg/m^3}).
  • Substituindo em P_{\rm el}=\eta\,\dot{m}\,g\,h obtemos
P_{\rm el}=\eta\,(\rho\,Q)\,g\,h.
  • Isolando Q:
Q=\frac{P_{\rm el}}{\eta\,\rho\,g\,h}.
Aqui explicando cada símbolo:
  • Q: vazão volumétrica pedida ( \mathrm{m^3/s}).
  • P_{\rm el}: potência elétrica de saída ( \mathrm{W}).
  • \eta: eficiência (número entre 0 e 1).
  • \rho: densidade da água ( \mathrm{kg/m^3}).
  • g: aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}).
  • h: altura da queda ( \mathrm{m}).

Passo 4

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo (atenção às unidades):
  • Converter a potência para watts:
P_{\rm el}=2{,}000\\ \mathrm{MW}=2{,}000\times10^{6}\\ \mathrm{W}=2{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{W}.
  • Eficiência \eta=92\% = 0{,}92.
  • Densidade \rho=1{,}000\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Gravidade g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Altura h=170\\ \mathrm{m}.
Agora calcular o denominador:
\eta\,\rho\,g\,h=0{,}92\times 1{,}000\times 9{,}8\times 170.
Calcular em etapas:
9{,}8\times170=1{,}666,
1{,}000\times 1{,}666=1{,}666{,}000,
0{,}92\times 1{,}666{,}000=1{,}532{,}720.
Portanto o denominador vale 1{,}532{,}720.
Agora a vazão:
Q=\frac{2{,}0\times10^{9}}{1{,}532{,}720}.

Passo 5

Fazer a divisão e interpretar:
  • Dividindo:
Q\approx 1{,}304{,}35\\ \mathrm{m^3/s}.
(Isto é, cerca de 1{,}3\times10^{3}\\ \mathrm{m^3/s}.)
Pequeno cheque de sanidade (útil na prova): a vazão mássica correspondente é
\dot{m}=\rho Q\approx 1{,}000\times1{,}304{,}35=1{,}304{,}350\\ \mathrm{kg/s}.
A potência potencial \dot{m} g h \approx 1{,}304{,}350\times9{,}8\times170\approx 2{,}173{,}913{,}000\\ \mathrm{W} e multiplicando pela eficiência 0{,}92 retorna 2{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{W}, consistente com a potência elétrica dada.

Resposta

1{,}304{,}35\\ \mathrm{m^3/s}

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