4.88 Mostre que (a) se S subseteq T então ger (S) subseteq >=r(T).
(b) >=r[>=r(S)]=>=r(S)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas propriedades do subespaço gerado de um conjunto S em um espaço vetorial V sobre um corpo K. Vamos usar a definição de gerador (span) por combinações lineares finitas:
>=r(S) =lsumi=1^nalphai,si ;|;ninN, alphaiinK, siin Sr
Com essa descrição, fica direto comparar spans de diferentes conjuntos e também de spans iterados.

Passo 2

Prova de (a): se Ssubseteq T, então todo vetor de >=r(S) é combinação linear de vetores em S, mas como cada siin S também está em T, essa mesma combinação mostra que
sumi=1^nalphai,si;in;>=r(T)
Logo todo elemento de >=r(S) está em >=r(T), ou seja
>=r(S);subseteq;>=r(T)

Passo 3

Prova de (b): queremos >=r[>=r(S)]=>=r(S).
  1. Como Ssubseteq>=r(S), aplicando (a) com T=>=r(S) segue
>=r(S);subseteq;>=r[>=r(S)]
  1. Por outro lado, se xin>=r[>=r(S)], então
x=sumi=1^nalphai,ti com tiin>=r(S)
Cada ti é combinação linear de vetores em S, digamos ti=sumjbetaijsij. Substituindo em x obtém-se uma combinação linear de elementos de S, logo xin>=r(S). Assim
>=r[>=r(S)];subseteq;>=r(S)
Com as duas inclusões concluímos a igualdade.

Resposta

(a) Se Ssubseteq T então >=r(S)subseteq>=r(T).
(b) >=r[>=r(S)]=>=r(S).

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