Considere os vetores u=(1,2,3) e v=(2,3,1) de R^3.
Encontre condições sobre a, b, c tais que w=(a, b, c) seja uma combinação linear de u e v

Passo 1

O enunciado pede que encontremos condições sobre a,b,c tais que o vetor w=(a,b,c) seja combinaçao linear de u=(1,2,3) e v=(2,3,1) em R^3. Em outras palavras, queremos alpha,beta tais que
w = alpha,u + beta,v
Para isso, usaremos o conceito de span e resolveremos um sistema linear para alpha,beta, deduzindo a condição de existência.

Passo 2

Escrevendo w = alpha u + beta v coordenada a coordenada, obtemos o sistema
a = alpha + 2beta, b = 2alpha + 3beta, c = 3alpha + beta

Passo 3

Resolvendo as duas primeiras equações para alpha e beta:
multiplicando a primeira por 2 2alpha +4beta=2a. Subtraindo da segunda ( 2alpha+3beta=b) vem
-,beta = b - 2a Longrightarrow beta = 2a - b
Substituindo em alpha +2beta = a resulta
alpha = a - 2beta = a - 2(2a - b) = -3a + 2b

Passo 4

Agora impomos a terceira equação 3alpha + beta = c. Substituindo alpha e beta:
3(-3a+2b)+(2a-b) = -9a +6b +2a - b = -7a +5b
Logo a consistência exige
c = -7a +5b,
ou seja
7a - 5b + c = 0

Resposta

A condição necessária e suficiente é
7a - 5b + c = 0,
equivalente a c = 5b - 7a.

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