*1.88. Os suportes apóiam a vigota uniformemente; supõese então que os quatro pregos em cada suporte transmitem uma intensidade igual da carga. Supondo que a vigota esteja submetida ao carregamento mostrado, determinar a tensão de cisalhamento média em cada prego do suporte nas extremidades A e B. Cada prego tem 0,25 pol de diâmetro. Os suportes resistem apenas a cargas verticais.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a tensão de cisalhamento média em cada prego dos suportes nas extremidades A e B, sabendo que:
  • Os suportes apóiam a vigota uniformemente;
  • Cada suporte tem quatro pregos que transmitem, cada um, a mesma parcela da carga vertical do suporte;
  • A vigota está submetida ao “carregamento mostrado” (figura não enviada);
  • Cada prego tem diâmetro 0,25 pol;
  • Os suportes resistem apenas a cargas verticais (logo os pregos trabalham em cisalhamento transversal, não em tração axial).
Observação importante: o enunciado depende de um diagrama de carregamento que não foi fornecido. Sem essa figura não é possível calcular numericamente as reações verticais nos suportes R_A e R_B, que são necessárias para obter as tensões de cisalhamento em cada prego. Portanto, não consigo fornecer valores numéricos finais das tensões sem as forças resultantes R_A e R_B.
No entanto, eu vou explicar passo a passo como você resolve a questão na prova, e vou deixar as expressões prontas para você só substituir R_A e R_B quando souber os valores a partir da figura.

Passo 2

Como encontrar as reações nos apoios ( R_A e R_B) a partir do carregamento (a parte que depende da figura)
  • Princípio: para uma viga engastada apenas por apoios verticais nos extremos, as reações verticais são encontradas pelas equações de equilíbrio estático: \sum F_y = 0,\qquad \sum M = 0.
  • Em prática para duas reações verticais: R_A + R_B = W_\text{total},onde W_\text{total} é a soma de todas as forças verticais aplicadas na viga (somatório de cargas concentradas e resultante de cargas distribuídas).
  • Para determinar R_B (tomando momentos em A): R_B \cdot L = \sum (\text{momentos das cargas em relação a }A),çãou, de forma compacta, R_B = \dfrac{\sum (P_i \cdot x_i) + (\text{resultante de w} \cdot x_w)}{L},onde P_i são cargas pontuais, x_i são suas distâncias a partir de A, a resultante de uma carga distribuída w tem intensidade wL atuando em sua linha de ação (com braço x_w a partir de A), e L é o vão entre A e B.
  • Depois: R_A = W_\text{total} - R_B.
Essas fórmulas são o procedimento: some forças verticais e some momentos. No seu problema, usando a figura, calcule W_\text{total} e os momentos e obtenha R_A e R_B. Não invente números.

Passo 3

Como a carga nos pregos é distribuída e como relacionar a reação de cada suporte com a força em cada prego
  • O enunciado diz que “os quatro pregos em cada suporte transmitem uma intensidade igual da carga”. Logo, a força de cisalhamento que cada prego do suporte em A recebe é: F_{\text{prego},A} = \dfrac{R_A}{4}.E análogo para B: F_{\text{prego},B} = \dfrac{R_B}{4}.
  • Esses F_{\text{prego}} são forças de cisalhamento transversal (força cortante agindo no plano da seção do prego). A tensão de cisalhamento média (magnitude média) numa seção circular sujeita a essa força é dada por: \tau_\text{média} = \dfrac{F}{A},éonde A é a área da seção transversal do prego e F é a força cortante sobre ele. Essa é a definição de tensão média: intensidade de força por unidade de área.

Passo 4

Cálculo da área da seção transversal de um prego circular (dados numéricos do enunciado)
  • A área de uma seção circular é A = \dfrac{\pi d^2}{4}.
  • Com d=0,25 pol (note a vírgula decimal conforme pedido), A = \dfrac{\pi (0,25)^2}{4}.Primeiro calcule (0,25)^2 = 0,0625. Em seguida divida por 4: \dfrac{0,0625}{4} = 0,015625.Então A = \pi\cdot 0,015625 \approx 0,04909\\ \text{pol}^2.
  • Para facilidade nos cálculos seguintes, compute 4A (porque cada suporte tem 4 pregos): 4A = 4\cdot 0,04909 \approx 0,19635\\ \text{pol}^2.

Passo 5

Fórmulas finais que você deve aplicar (substituindo R_A e R_B obtidos do equilíbrio)
  • Tensão média em cada prego do suporte em A: \tau_A = \dfrac{F_{\text{prego},A}}{A} = \dfrac{R_A/4}{A} = \dfrac{R_A}{4A}.Substituindo numericamente o valor de 4A calculado no passo anterior: \tau_A = \dfrac{R_A}{0,19635}\quad\text{(unidade: lbf/pol}^2\text{ ou psi, se }R_A\text{ em lbf)}.Ou, de forma útil para cálculo rápido, \tau_A \approx 5,093\;R_A\quad\text{(onde }R_A\text{ está em lbf e }\tau_A\text{ em psi)}.á
  • Tensão média em cada prego do suporte em B: \tau_B = \dfrac{R_B}{4A} = \dfrac{R_B}{0,19635} \approx 5,093\;R_B.
  • Interpretação: depois de obter R_A e R_B (em lbf) usando o diagrama de carregamento e as equações de equilíbrio, multiplique cada reação por 5,093 para obter a tensão média em psi. Se preferir a forma exata com \pi: \tau = \dfrac{R}{4A} = \dfrac{R}{\pi (0,25)^2}.

Passo 6

Resumo prático do que fazer na prova (passo a passo curto)
  1. A partir da figura, calcule W_\text{total} e os momentos necessários; use \sum F_y=0 e \sum M_A=0 para obter R_B e depois R_A.
  2. Divida cada reação por 4 para obter a força por prego.
  3. Calcule a área do prego A=\dfrac{\pi d^2}{4} (já calculei: A\approx 0,04909\\ \text{pol}^2).
  4. Calcule \tau=\dfrac{F_{\text{prego}}}{A}=\dfrac{R}{4A}. Substitua os valores numéricos de R_A e R_B.
Você consegue — é só seguir esses passos com a figura que o professor deu. Força aí!

Resposta

\displaystyle \tau_A=\dfrac{R_A}{4A}=\dfrac{R_A}{0,19635}\\ \text{psi}
\displaystyle \tau_B=\dfrac{R_B}{4A}=\dfrac{R_B}{0,19635}\\ \text{psi}

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