O suporte é apoiado por um pino retangular. Determinar a grandeza da carga suspensa admissível \mathbf{P} se a tensão de apoio admissível for \left(\sigma_{b}\right)_{\text {adm }}=220 \mathrm{MPa}, o esforço de tração admissível \left(\sigma_{t}\right)_{\text {adm }}=150 \mathrm{MPa} e a tensão de cisalhamento admissível \tau_{\text {adm }}=130 \mathrm{MPa}. Suponha que t=6 \mathrm{~mm}, a=5 \mathrm{~mm} e b=25 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a carga suspensa admissível P.
Dados fornecidos:
\left(\sigma_{b}\right)_{\text{adm}}=220\\ \mathrm{MPa},\qquad \left(\sigma_{t}\right)_{\text{adm}}=150\\ \mathrm{MPa},\qquad \tau_{\text{adm}}=130\\ \mathrm{MPa}.
Dimensões dadas:
t=6\\ \mathrm{mm},\qquad a=5\\ \mathrm{mm},\qquad b=25\\ \mathrm{mm}.
Não há outras informações no enunciado. A pergunta única é: qual é a maior carga P que pode ser aplicada sem exceder as tensões admissíveis?

Passo 2

Vamos listar os possíveis modos de ruptura que limitam P. Cada modo produz uma fórmula relacionando P com a tensão admissível; calculamos a carga admissível de cada modo e tomamos a menor (modo crítico). Os modos considerados e as hipóteses (explicadas abaixo) são:
  1. Cisalhamento do pino (shear) — tensão de cisalhamento \tau.
  2. Compressão de apoio (bearing) entre pino e suporte — tensão de apoio \sigma_b.
  3. Tração na peça que segura o pino (net section tension) — tensão de tração \sigma_t.
Agora vou explicar cada fórmula, o que representa cada área que aparece e por que usamos essa expressão.

Passo 3

Modo: bearing (tensão de apoio/compressão local).
  • Conceito: a tensão de apoio é a pressão de contato entre faces do pino e a peça que apoia; é a carga dividida pela área de contato que suporta a compressão.
  • Aqui a área de contato considerada é a projeção do pino sobre a espessura da peça: comprimento b vezes espessura t. (Justificativa: o pino encosta ao longo da face cuja dimensão vertical é b e atravessa uma placa de espessura t; a área de contato é a face b\times t.)
  • Fórmula:
\sigma_b=\frac{P}{b\,t}.
  • Isolando P quando \sigma_b atinge o admissível:
P_{b,\text{adm}}=\left(\sigma_b\right)_{\text{adm}}\; b\,t.
  • Substituindo números (atenção às unidades: \mathrm{MPa}= \mathrm{N/mm^2}):
b\,t=25\\ \mathrm{mm}\times 6\\ \mathrm{mm}=150\\ \mathrm{mm^2}.
P_{b,\text{adm}}=220\\ \mathrm{N/mm^2}\times 150\\ \mathrm{mm^2}=33000\\ \mathrm{N}=33{,}0\\ \mathrm{kN}.

Passo 4

Modo: cisalhamento do pino (shear).
  • Conceito: o pino pode falhar por corte ao longo de uma seção transversal. A tensão de cisalhamento média é a carga dividida pela área dessa seção de cisalhamento.
  • Qual é a área de cisalhamento aqui? Se o pino tem seção retangular com dimensões a (em uma direção) e b (na outra), a área da seção que resiste ao cisalhamento é A_{\text{shear}}=a\,b. (Justificativa: o plano de corte atravessa toda a seção reta do pino, com as dimensões a e b.)
  • Fórmula:
\tau=\frac{P}{a\,b}.
  • Isolando P para \tau=\tau_{\text{adm}}:
P_{\tau,\text{adm}}=\tau_{\text{adm}}\; a\,b.
  • Cálculo:
a\,b=5\\ \mathrm{mm}\times 25\\ \mathrm{mm}=125\\ \mathrm{mm^2}.
P_{\tau,\text{adm}}=130\\ \mathrm{N/mm^2}\times 125\\ \mathrm{mm^2}=16250\\ \mathrm{N}=16{,}25\\ \mathrm{kN}.

Passo 5

Modo: tração na peça (tensão de tração).
  • Conceito: a peça/perna que conecta o pino pode estar sujeita à tração direta pela força P. A tensão de tração média é P dividido pela área útil da seção que resiste à tração.
  • Qual é essa área aqui? A área que resiste à tração atravessando a espessura t e a largura menor a é A_{\text{tensão}}=a\,tã. (Justificativa: a abertura/entrançamento do pino deixa uma “lingueta” de largura a e espessura t que seria carregada à tração; portanto essa área é a seção que sofre tração.)
  • Fórmula:
\sigma_t=\frac{P}{a\,t}.
  • Isolando P para \sigma_t=(\sigma_t)_{\text{adm}}:
P_{t,\text{adm}}=\left(\sigma_t\right)_{\text{adm}}\; a\,t.
  • Cálculo:
a\,t=5\\ \mathrm{mm}\times 6\\ \mathrm{mm}=30\\ \mathrm{mm^2}.
P_{t,\text{adm}}=150\\ \mathrm{N/mm^2}\times 30\\ \mathrm{mm^2}=4500\\ \mathrm{N}=4{,}50\\ \mathrm{kN}.

Passo 6

Comparação dos três valores admissíveis:
P_{b,\text{adm}}=33{,}0\\ \mathrm{kN},\qquad P_{\tau,\text{adm}}=16{,}25\\ \mathrm{kN},\qquad P_{t,\text{adm}}=4{,}50\\ \mathrm{kN}.
A carga admissível real é o menor desses valores (modo crítico). Portanto o modo crítico é a tração (tensão de tração atinge o admissível primeiro) e
P_{\text{adm}}=\min\{P_{b,\text{adm}},P_{\tau,\text{adm}},P_{t,\text{adm}}\}=4{,}50\\ \mathrm{kN}.

Resposta

P_{\text{adm}}=4{,}50\\ \mathrm{kN}

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