Calcule as áreas de transferência de calor necessárias para as seguintes configurações de trocadores de calor: (d) escoamento cruzado, único passe, dois fluidos não misturados.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área de troca térmica necessária para um trocador de calor com configuração “escoamento cruzado, único passe, dois fluidos não misturados”.
Informações explícitas dadas no enunciado: apenas a configuração do trocador.
Como não foram fornecidos valores numéricos (temperaturas, vazões, calores específicos, coeficiente global, etc.), o objetivo aqui é apresentar o procedimento completo e a fórmula final que permite calcular a área A a partir dos dados que tipicamente acompanham esse tipo de problema. Portanto, o que se pretende obter é uma expressão ou procedimento prático que, recebendo os dados reais (\dot m_h,\dot m_c,c_{p,h},c_{p,c},T_{h,in},T_{c,in},U,\text{(e/ou saídas desejadas)})í, permita calcular A.

Passo 2

Qual método usar e por quê.
  • O trocador é do tipo cruzado com ambos os fluidos não misturados. Para esse tipo de geometria a técnica mais direta e prática é o método NTU–efetividade (NTU– \varepsilon), porque o método LMTD exige conhecer as temperaturas em toda a interface (ou um fator de correção complicado) e as correlações de \varepsilon para trocadores cruzados são bem estabelecidas.
  • Então vamos usar o método NTU– \varepsilon: ele relaciona a eficácia \varepsilon do trocador com o número adimensional NTU, a razão de capacidades térmicas e o coeficiente global U. A área aparece diretamente em NTU pela definição \mathrm{NTU}=\dfrac{U A}{C_{\min}}. Vou explicar cada passo e variável com calma.

Passo 3

Definições básicas (cada variável explicada):
  • \dot m_h: vazão mássica do fluido quente (kg/s).
  • \dot m_c: vazão mássica do fluido frio (kg/s).
  • c_{p,h}: calor específico do fluido quente (J/kg·K).
  • c_{p,c}: calor específico do fluido frio (J/kg·K).
  • C_h = \dot m_h\, c_{p,h}: taxa de capacidade térmica do fluido quente (W/K). Explica: é a energia por unidade de temperatura que o fluido quente pode ceder por segundo.
  • C_c = \dot m_c\, c_{p,c}: taxa de capacidade térmica do fluido frio (W/K).
  • C_{\min} = \min(C_h,C_c) e C_{\max} = \max(C_h,C_c).
  • C_r = \dfrac{C_{\min}}{C_{\max}} (razão de capacidades, adimensional, 0\le C_r \le 1).
  • U: coeficiente global de transferência de calor (W/m^2·K).
  • A: área de troca térmica que queremos determinar (m^2).
  • \mathrm{NTU} = \dfrac{U A}{C_{\min}} (número de unidades térmicas, adimensional). Interpretação: quanto maior a NTU, maior a habilidade do trocador de aproximar as temperaturas dos fluidos.
  • T_{h,in}: temperatura de entrada do fluido quente.
  • T_{c,in}: temperatura de entrada do fluido frio.
  • Q: taxa de transferência de calor desejada (W). Se o problema der temperaturas de saída ou um Q desejado, usamos isso; se não, Q é a quantidade que precisamos designar pelo objetivo de projeto.
  • Q_{\max} = C_{\min}\,(T_{h,in}-T_{c,in}): calor máximo teoricamente possível (quando o fluido com C_{\min} atinge a temperatura do outro fluido).
  • Eficácia \varepsilon: razão entre o calor realmente transferido e o máximo possível:
\varepsilon = \dfrac{Q}{Q_{\max}} = \dfrac{Q}{C_{\min}\,(T_{h,in}-T_{c,in})}.
Explicação: \varepsilon varia entre 0 e 1; 1 significa que o fluido de menor capacidade atinge a temperatura do outro.

Passo 4

Relação entre \varepsilon, NTU e C_r (para o caso pedido).
  • Para trocadores cruzados, existem várias sub‑configurações (um fluido bem misturado, o outro não; ambos misturados; ambos não misturados). O enunciado especifica “dois fluidos não misturados” — isto é: fluxo em canais de um lado e em canais do outro, sem mistura lateral em nenhum dos dois.
  • Para essa configuração existe uma correlação padrão (empírica/semianalítica) para \varepsilon(\mathrm{NTU},C_r) dada por Kays & London (usada em muitos livros). Essa correlação é:
\varepsilon \;=\; 1 - \exp\!\Bigg\{ -\dfrac{1}{C_r}\Big[\,1 - \exp\!\big(-C_r\,\mathrm{NTU}^{\,0{,}22}\big)\,\Big]\Bigg\}.
Explicação da fórmula: é uma expressão ajustada por experimentos e análises analíticas para o caso cruzado, ambos os fluidos passando por múltiplos canais de modo que não haja mistura lateral. A potência 0{,}22 é empírica; para limites especiais (por exemplo C_r\to 0) essa expressão tende à forma adequada:
\text{se } C_r\to 0:\qquad \varepsilon \approx 1-\exp\!\big(-\mathrm{NTU}^{\,0{,}22}\big).

Passo 5

Como usar essa relação na prática para obter a área A. Passos operacionais (passo a passo que você aplica na prova):
  1. Calcular C_h e C_c e então C_{\min}, C_{\max} e C_r. (Substituir as vazões e c_p que o enunciado der.)
  2. Determinar o calor requerido Q. Pode vir do enunciado (por exemplo por temperaturas de saída desejadas) ou ser especificado. Se for por temperaturas de saída conhecidas, calcular Q=\dot m_h c_{p,h}(T_{h,in}-T_{h,out}) (ou via o frio). Se o enunciado der apenas temperaturas de entrada e uma exigência de aquecimento/resfriamento final, calcular Q conforme o objetivo. Em qualquer caso, calcule a eficácia requerida:
\varepsilon = \dfrac{Q}{C_{\min}\,(T_{h,in}-T_{c,in})}.
Observação: verifique que 0<\varepsilon<1; se \varepsilon for muito próximo de 1 pode haver problema de validade numérica (a correlação exige \ln(1-\varepsilon) finito).
3. Com \varepsilon e C_r conhecidos, resolver a equação da Passo 4 para \mathrm{NTU}. Faço a inversão algébrica a seguir (atenção aos sinais e domínio das funções):
a) Parto de
\varepsilon = 1 - \exp\!\Big\{ -\dfrac{1}{C_r}\big[1 - \exp(-C_r\,\mathrm{NTU}^{0{,}22})\big]\Big\}.
b) Isolo a exponencial:
\exp\!\Big\{ -\dfrac{1}{C_r}\big[1 - \exp(-C_r\,\mathrm{NTU}^{0{,}22})\big]\Big\} = 1-\varepsilon.
c) Tomando ln e rearranjando:
-\dfrac{1}{C_r}\big[1 - \exp(-C_r\,\mathrm{NTU}^{0{,}22})\big] = \ln(1-\varepsilon).
d) Portanto
1 - \exp(-C_r\,\mathrm{NTU}^{0{,}22}) = -C_r\,\ln(1-\varepsilon).
e) Assim
\exp(-C_r\,\mathrm{NTU}^{0{,}22}) = 1 + C_r\,\ln(1-\varepsilon).
f) Finalmente
-C_r\,\mathrm{NTU}^{0{,}22} = \ln\!\big(1 + C_r\,\ln(1-\varepsilon)\big)
e
\mathrm{NTU} = \left[ -\dfrac{1}{C_r}\,\ln\!\big(1 + C_r\,\ln(1-\varepsilon)\big)\right]^{\!1/0{,}22}.
Observações práticas: a quantidade dentro do ln deve ser positiva, ou seja 1 + C_r\,\ln(1-\varepsilon) > 0. Se isso não ocorrer numericamente, provavelmente \varepsilon está tão perto de 1 que a correlação alcançou seu limite e deve-se tratar o caso numericamente (usar iteração ou verificar se C_r muito pequeno). Em muitos problemas de prova os números ficam bem comportados.
4. Com \mathrm{NTU} conhecido, usar a definição de NTU para achar A:
A = \dfrac{C_{\min}\,\mathrm{NTU}}{U}.

Passo 6

Resumo — fórmula final pronta para uso direto:
  • Primeiro calcule \varepsilon a partir de Q (ou das temperaturas alvo):
\varepsilon = \dfrac{Q}{C_{\min}\,(T_{h,in}-T_{c,in})}.
  • Em seguida calcule \mathrm{NTU} resolvendo a correlação (inversa explícita dada):
\mathrm{NTU} = \left[ -\dfrac{1}{C_r}\,\ln\!\big(1 + C_r\,\ln(1-\varepsilon)\big)\right]^{\!1/0{,}22}.
  • Finalmente a área:
A = \dfrac{C_{\min}}{U}\,\mathrm{NTU}.

Passo 7

Dicas práticas para a prova (como eu faria em 30–40 minutos):
  • Organize os dados: calcule C_h,C_c,C_{\min},C_r logo no começo.
  • Calcule Q a partir das temperaturas fornecidas (faça checagens: a mesma Q deve sair calculada das equações do quente e do frio, com sinais corretos).
  • Calcule \varepsilon e cheque 0<\varepsilon<1.
  • Aplique a fórmula inversa para NTU; se der problema com o argumento do ln (negativo), faça uma solução numérica: escolha um chute inicial para NTU e use Newton/iteração até que a \varepsilon(\mathrm{NTU}) da equação do Passo 4 coincida com a \varepsilon desejada. Em provas, normalmente a inversão algébrica acima funciona.
  • Faça a conta final de A e cheque unidades (W/K dividido por W/m^2K dá m^2).
  • Se C_r for muito pequeno ( <0{,}01 por exemplo), pode usar a aproximação \varepsilon \approx 1 - \exp(-\mathrm{NTU}^{0{,}22}) para simplificar.

Resposta

A = \dfrac{C_{\min}}{U}\;\left[ -\dfrac{1}{C_r}\,\ln\!\big(1 + C_r\,\ln(1-\varepsilon)\big)\right]^{\!1/0{,}22},
onde
C_{\min}=\min(\dot m_h c_{p,h},\,\dot m_c c_{p,c}),\qquad C_r=\dfrac{C_{\min}}{\max(\dot m_h c_{p,h},\,\dot m_c c_{p,c})},
\varepsilon=\dfrac{Q}{C_{\min}\,(T_{h,in}-T_{c,in})},
e Q é a taxa de calor que se deseja transferir. A relação entre \varepsilon e \mathrm{NTU} usada para a configuração “escoamento cruzado, único passe, ambos os fluidos não misturados” é
\varepsilon = 1 - \exp\!\Big\{ -\dfrac{1}{C_r}\big[1 - \exp(-C_r\,\mathrm{NTU}^{0{,}22})\big]\Big\},
com \mathrm{NTU}=\dfrac{U A}{C_{\min}}.

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