(EN-89) Sabendo-se que
e
são vetores que satisfazem as seguintes condições:
I)
é paralelo a
II)
é ortogonal a
III)
, onde
Podemos afirmar que o produto vetorial
é:
a)
b)
c) nulo
(d)
e)
I)
II)
III)
a)
b)
c) nulo
(d)
e)
Passo 1
O enunciado dá estas informações (vou listar exatamente o que foi pedido e o que sabemos):
-
. - I)
é paralelo a . - II)
é ortogonal a . - III)
, onde .
O que nos pedem: determinar o produto vetorial
.
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo, sem pular etapas):
- Como
é paralelo a , é a componente de na direção de , ou seja, a projeção de sobre . - Como
é ortogonal a e , teremos . - Depois de obter
e em componentes, calculamos com a fórmula do produto vetorial (determinante ou fórmula componente a componente).
Vou mostrar a fórmula da projeção e como usá-la: para vetores
e
,
Aqui
é o produto escalar (soma dos produtos das componentes) e
é o quadrado da norma de
.
Passo 3
Calcular a projeção (ou seja,
):
- Escrevendo as componentes:
e . - Produto escalar:
- Norma ao quadrado de
: - Então a projeção (que é
) vale: - Escrevendo em componentes e em notação
:
Passo 4
Calcular
:
- Subtraindo componente a componente:
- Fazer as contas com frações:
- Assim
- (Cheque rápido de coerência:
, ou seja, é de fato ortogonal a .)
Passo 5
Calcular o produto vetorial
. Vou explicar a fórmula e aplicar com cuidado:
- Fórmula componente a componente: para
e , - Para simplificar os cálculos com frações, observe que ambas
e têm um fator comum . Escrevemos: Então - Calcule o produto cruz dos inteiros
e usando a fórmula: - Componente
: . - Componente
: . - Componente
: .
Assim
- Componente
- Multiplicando pelo fator
: - Simplificando as frações:
Passo 6
Interpretação curta e verificação: o vetor encontrado é ortogonal tanto a
quanto a
(propriedade do produto vetorial) e coincide com a alternativa (d) do enunciado.
Resposta
(d)