(EN-89) Sabendo-se que \vec{u} e \vec{v} são vetores que satisfazem as seguintes condições:
I) \vec{u} é paralelo a \vec{w}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}
II) \vec{v} é ortogonal a \vec{w}
III) \vec{a}=\vec{u}+\vec{v}, onde \vec{a}=2 \vec{i}+\vec{j}-3 \vec{k}
Podemos afirmar que o produto vetorial \vec{u} \times \vec{v} é:
a) -\frac{16}{9} \vec{i}+\frac{2}{9} \vec{j}+\frac{14}{9} \vec{k}
b) -\frac{2}{3} \vec{i}+\frac{2}{3} \vec{j}-\frac{2}{3} \vec{k}
c) nulo
(d) -\frac{4}{3} \vec{i}-\frac{10}{3} \vec{j}-2 \vec{k}
e) \frac{16}{3} \vec{i}+\frac{2}{3} \vec{j}-\frac{14}{3} \vec{k}

Passo 1

O enunciado dá estas informações (vou listar exatamente o que foi pedido e o que sabemos):
  • \vec{w}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}.
  • I) \vec{u} é paralelo a \vec{w}.
  • II) \vec{v} é ortogonal a \vec{w}.
  • III) \vec{a}=\vec{u}+\vec{v}, onde \vec{a}=2\vec{i}+\vec{j}-3\vec{k}.
O que nos pedem: determinar o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}.

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo, sem pular etapas):
  • Como \vec{u} é paralelo a \vec{w}, \vec{u} é a componente de \vec{a} na direção de \vec{w}, ou seja, a projeção de \vec{a} sobre \vec{w}.
  • Como \vec{v} é ortogonal a \vec{w} e \vec{a}=\vec{u}+\vec{v}, teremos \vec{v}=\vec{a}-\vec{u}.
  • Depois de obter \vec{u} e \vec{v} em componentes, calculamos \vec{u}\times\vec{v} com a fórmula do produto vetorial (determinante ou fórmula componente a componente).
Vou mostrar a fórmula da projeção e como usá-la: para vetores \vec{a} e \vec{w},
\text{proj}_{\vec{w}}\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{w}}{\vec{w}\cdot\vec{w}}\,\vec{w}.
Aqui \vec{a}\cdot\vec{w} é o produto escalar (soma dos produtos das componentes) e \vec{w}\cdot\vec{w} é o quadrado da norma de \vec{w}.

Passo 3

Calcular a projeção (ou seja, \vec{u}):
  • Escrevendo as componentes:
    \vec{w}=(1,-1,1) e \vec{a}=(2,1,-3).
  • Produto escalar: \vec{a}\cdot\vec{w}=2\cdot1+1\cdot(-1)+(-3)\cdot1=2-1-3=-2.
  • Norma ao quadrado de \vec{w}: \vec{w}\cdot\vec{w}=1^2+(-1)^2+1^2=1+1+1=3.
  • Então a projeção (que é \vec{u}) vale: \vec{u}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{w}}{\vec{w}\cdot\vec{w}}\,\vec{w}=\frac{-2}{3}\,(1,-1,1).
  • Escrevendo em componentes e em notação \vec{i},\vec{j},\vec{k}: \vec{u}=-\tfrac{2}{3}\vec{i}+\tfrac{2}{3}\vec{j}-\tfrac{2}{3}\vec{k}.

Passo 4

Calcular \vec{v}=\vec{a}-\vec{u}:
  • Subtraindo componente a componente: \vec{v}=(2,1,-3)-\big(-\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\big).
  • Fazer as contas com frações: 2-(-\tfrac{2}{3})=2+\tfrac{2}{3}=\tfrac{8}{3},\qquad 1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3},\qquad -3-(-\tfrac{2}{3})=-3+\tfrac{2}{3}=-\tfrac{7}{3}.
  • Assim \vec{v}=\tfrac{8}{3}\vec{i}+\tfrac{1}{3}\vec{j}-\tfrac{7}{3}\vec{k}.
  • (Cheque rápido de coerência: \vec{v}\cdot\vec{w}=\tfrac{8}{3}\cdot1+\tfrac{1}{3}\cdot(-1)+(-\tfrac{7}{3})\cdot1=\tfrac{8-1-7}{3}=0, ou seja, \vec{v} é de fato ortogonal a \vec{w}.)

Passo 5

Calcular o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Vou explicar a fórmula e aplicar com cuidado:
  • Fórmula componente a componente: para \vec{p}=(p_1,p_2,p_3) e \vec{q}=(q_1,q_2,q_3), \vec{p}\times\vec{q}=(p_2q_3-p_3q_2)\,\vec{i}+(p_3q_1-p_1q_3)\,\vec{j}+(p_1q_2-p_2q_1)\,\vec{k}.
  • Para simplificar os cálculos com frações, observe que ambas \vec{u} e \vec{v} têm um fator comum 1/3. Escrevemos: \vec{u}=\tfrac{1}{3}(-2,2,-2),\qquad \vec{v}=\tfrac{1}{3}(8,1,-7).Então \vec{u}\times\vec{v}=\tfrac{1}{9}\,(-2,2,-2)\times(8,1,-7).
  • Calcule o produto cruz dos inteiros (-2,2,-2) e (8,1,-7) usando a fórmula:
    • Componente \vec{i}: 2\cdot(-7)-(-2)\cdot1=-14+2=-12.
    • Componente \vec{j}: (-2)\cdot8-(-2)\cdot(-7)=-16-14=-30.
    • Componente \vec{k}: (-2)\cdot1-2\cdot8=-2-16=-18.
      Assim
    (-2,2,-2)\times(8,1,-7)=(-12,-30,-18).
  • Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{9}: \vec{u}\times\vec{v}=\tfrac{1}{9}(-12,-30,-18)=\big(-\tfrac{12}{9},-\tfrac{30}{9},-\tfrac{18}{9}\big).
  • Simplificando as frações: \vec{u}\times\vec{v}=-\tfrac{4}{3}\vec{i}-\tfrac{10}{3}\vec{j}-2\vec{k}.

Passo 6

Interpretação curta e verificação: o vetor encontrado é ortogonal tanto a \vec{u} quanto a \vec{v} (propriedade do produto vetorial) e coincide com a alternativa (d) do enunciado.

Resposta

(d) -\tfrac{4}{3}\vec{i}-\tfrac{10}{3}\vec{j}-2\vec{k}

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