8a Questão: Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:
x^2+y^2=4, d yd x, no ponto P(1, raiz3), e d xd y, no ponto Q(raiz3, 1);

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^2 + y^2 = 4
e pede duas coisas: a derivada dfracdydx e seu valor no ponto P(1,raiz3), e a derivada dfracdxdy e seu valor no ponto Q(raiz3,1). Vamos usar diferenciação implícita e a regra da cadeia.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de x^2 + y^2 = 4 em relação a x, obtemos
ddx(x^2) + ddx(y^2) = ddx(4)
ou seja
2x + 2y,dydx = 0
Isolando dfracdydx, vem
dydx = -xy

Passo 3

Para avaliar em P(1,raiz3), basta substituir x=1 e y=raiz3 em dfracdydx=-tfracxy:
dydx|(1,raiz3) = -1raiz3 = -raiz33

Passo 4

Agora queremos dfracdxdy. Podemos reescrever a mesma diferenciada implícita mas em relação a y. Diferenciando x^2 + y^2 = 4 em relação a y:
ddy(x^2) + ddy(y^2) = 0 Rightarrow 2x,dxdy + 2y = 0
Isolando dfracdxdy, obtemos
dxdy = -yx

Passo 5

Para avaliar em Q(raiz3,1), substituímos x=raiz3 e y=1 em dfracdxdy=-tfracyx:
dxdy|(raiz3,1) = -1raiz3 = -raiz33

Resposta

dydx = -xy, dydx|(1,raiz3) = -raiz33
dxdy = -yx, dxdy|(raiz3,1) = -raiz33

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