Resolvam as Equações não homogêneas, utilizando o Método dos Coeficientes Indeterminados.
y^prime prime+omega0^2 y=cos omega x, omega^2 neq omega0^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea
y'' + omega0^2y = cos(omega x),
onde omega^2neq omega0^2, usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois um particular para montar a solução geral.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea associada
y'' + omega0^2y = 0
A equação característica é
r^2 + omega0^2=0 Longrightarrow r = pm i,omega0
Logo, a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1cos(omega0x) + C2sin(omega0x),
com constantes C1,C2.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular yp da não homogênea
y'' + omega0^2y = cos(omega x),
fazemos o chute de que
yp(x) = Acos(omega x) + Bsin(omega x),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos yp'' e substituímos na equação:
yp'' = -A,omega^2cos(omega x) - B,omega^2sin(omega x),
então
yp'' + omega0^2yp = ( -Aomega^2 + Aomega0^2)cos(omega x) + ( -Bomega^2 + Bomega0^2)sin(omega x)
Isso deve ser igual a cos(omega x), ou seja,
A(omega0^2-omega^2)cos(omega x) + B(omega0^2-omega^2)sin(omega x) = 1cdotcos(omega x) + 0cdotsin(omega x)
Igualando coeficientes, obtemos
A(omega0^2-omega^2)=1, B(omega0^2-omega^2)=0
Como omega^2neqomega0^2, segue
A = 1omega0^2-omega^2, B = 0
Portanto
yp(x) = 1omega0^2-omega^2;cos(omega x)

Passo 5

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1cos(omega0x) + C2sin(omega0x) + 1omega0^2-omega^2;cos(omega x)

Resposta

y(x) = C1cos(omega0x) + C2sin(omega0x) + 1omega0^2-omega^2;cos(omega x)

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