8a Questão: Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:
y^4+3 y-4 x^2=5 x+1 d yd x, no ponto P(0,-1);
d yd x(x, y(x)) d xd y(y, x(y))

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
y^4 + 3y - 4x^2 = 5x + 1
e pede duas coisas:
  1. Encontrar dfracdydx em função de x e y e seu valor em P(0,-1).
  2. Encontrar dfracdxdy considerando x=x(y).

Passo 2

Diferenciando implicitamente em relação a x, usamos a regra da cadeia:
ddx(y^4)=4y^3dydx, ddx(3y)=3dydx, ddx(-4x^2)=-8x, ddx(5x)=5, ddx(1)=0
Logo obtemos
4y^3dydx +3dydx -8x =5
Agrupando dydx, temos
(4y^3+3),dydx =5+8x Longrightarrow dydx =5+8x4y^3+3

Passo 3

Para avaliar em P(0,-1), substituímos x=0 e y=-1:
dydx|(0,-1) =5+8cdot04(-1)^3+3 =5-4+3 =,-5

Passo 4

Para encontrar dfracdxdy (tomando x como função de y), basta inverter a derivada:
dxdy =1dydx =4y^3+35+8x

Resposta

dydx(x,y) =5+8x4y^3+3, dydx(0,-1)=-5; dxdy(y,x) =4y^3+35+8x

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