A temperatura (x, y, z) é dada por T(x, y, z)=e^-x^2-2 y^2+3 z^2 graus. Identique a superfície cujos pontos possuem temperatura igual à temperatura do ponto (-1,-1,1).
R.: A superfície é S: 3 z^2=x^2+2 y^2 Rightarrow S: z^2=x^23+2 y^23 que é um cone.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura
T(x,y,z)=e^-x^2-2y^2+3z^2
e pede a superfície de nível cujos pontos têm a mesma temperatura de (-1,-1,1). Vamos usar o conceito de superfície de nível: é o conjunto de pontos onde a função vale uma constante.

Passo 2

Calculamos a temperatura em (-1,-1,1):
T(-1,-1,1) = e^-(-1)^2-2(-1)^2+3(1)^2 = e^-1-2+3 = e^0 = 1

Passo 3

Para a superfície desejada impomos
T(x,y,z)=1 Longrightarrow e^-x^2-2y^2+3z^2=1

Passo 4

Como e^u=1 sse u=0, igualamos o expoente a zero:
-,x^2-2y^2+3z^2=0 Longrightarrow 3z^2=x^2+2y^2

Passo 5

A equação
3z^2=x^2+2y^2
é homogênea de grau 2 e define um cone de duas folhas em torno do eixo z.

Resposta

A superfície é
S:;3z^2=x^2+2y^2,
ou seja
z^2=x^23+2y^23,
que é um cone.

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