4.8B Com auxílio do Teorema de Stokes calcule :
(a) .
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de linha
onde
e é a curva fechada dada pela interseção da esfera com o plano .
Conteúdo: Teorema de Stokes. Iremos substituir a integral de linha pela integral de superfície do rotacional de .
Passo 2
Calculamos o rotacional de :
]
Passo 3
Escolhemos como superfície Sigma o disco no plano x+y+z=0 limitado por gamma.
Uma normal unitária ao plano é
n=(1,1,1)raiz3
Pelo Teorema de Stokes:
integralgamma Fcdot d r =integral duplaSigma(nablatimes F)cdot n,dS
Passo 4
No plano x+y+z=0 que passa pela origem a interseção com a esfera é um círculo de raio
raizR^2-0^2=R,
logo a área de Sigma é pi R^2.
Então
(nablatimes F)cdot n =(-1,-1,-1)cdot(1,1,1)raiz3 =-3raiz3 =-raiz3
Portanto
integral duplaSigma(nablatimes F)cdot n,dS =-raiz3,l(pi R^2r)