4.8B Com auxílio do Teorema de Stokes calcule integralc P d x+Q d y+R d z :
(a) integralgamma y d x+z d y+x d z ; gamma: x^2+y^2+z^2=R^2, x+y+z=0 .

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
integralgammaP,dx+Q,dy+R,dz
onde
P=y, Q=z, R=x
e gamma é a curva fechada dada pela interseção da esfera x^2+y^2+z^2=R^2 com o plano x+y+z=0.
Conteúdo: Teorema de Stokes. Iremos substituir a integral de linha pela integral de superfície do rotacional de F=(P,Q,R).

Passo 2

Calculamos o rotacional de F:
nabla times F = partial Rpartial y - partial Qpartial z [6pt] partial Ppartial z - partial Rpartial x [6pt] partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - 1 [4pt] 0 - 1 [4pt] 0 - 1 = (-1,,-1,,-1) ]

Passo 3

Escolhemos como superfície Sigma o disco no plano x+y+z=0 limitado por gamma.
Uma normal unitária ao plano é
n=(1,1,1)raiz3
Pelo Teorema de Stokes:
integralgamma Fcdot d r =integral duplaSigma(nablatimes F)cdot n,dS

Passo 4

No plano x+y+z=0 que passa pela origem a interseção com a esfera é um círculo de raio
raizR^2-0^2=R,
logo a área de Sigma é pi R^2.
Então
(nablatimes F)cdot n =(-1,-1,-1)cdot(1,1,1)raiz3 =-3raiz3 =-raiz3
Portanto
integral duplaSigma(nablatimes F)cdot n,dS =-raiz3,l(pi R^2r)

Resposta

boxed-raiz3,pi R^2

Exercícios relacionados