Encontre as seguintes primitivas:
integral d x(1+x^2) raiz1-x^2

Passo 1

Queremos encontrar uma primitiva da integral
integral dxl(1+x^2r)raiz1-x^2
O conteúdo principal é usar uma substituição trigonométrica para eliminar a raiz e depois um tratamento de integral racional em função de tan t.

Passo 2

Fazemos a substituição x = sin t. Então
dx = cos t,dt, raiz1 - x^2 = raiz1 - sin^2t = cos t,
e
1 + x^2 = 1 + sin^2t
Substituindo na integral original:
integral dxl(1+x^2r)raiz1-x^2 = integral cos t,dtl(1+sin^2tr)cos t = integral dt1+sin^2t

Passo 3

Para calcular
integral dt1+sin^2t,
usamos a substituição u = tan t, de modo que
du = sec^2t,dt = l(1+tan^2tr),dt,
ou seja (1+tan^2t),dt = du. Além disso
1+sin^2t = 1 + tan^2t1+tan^2t = 1+2tan^2t1+tan^2t
Logo
integral dt1+sin^2t = integral 1+tan^2t1+2tan^2t,dt = integral du1+2u^2
Essa é uma integral do tipo integral du1+a^2u^2 = 1aarctan(a,u). Aqui a=raiz2, então
integral du1+2u^2 = 1raiz2arctanl(raiz2,ur) + C

Passo 4

Voltando a t e depois a x:
u = tan t, tan t = sin tcos t = xraiz1-x^2,
portanto a primitiva fica
1raiz2arctan!l(raiz2,tan tr)+C ;=; 1raiz2arctan!l(tfracraiz2,xraiz1-x^2r)+C

Resposta

boxed,integral dxl(1+x^2r)raiz1-x^2 = 1raiz2arctan!l(raiz2,xraiz1-x^2r)+C,

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