Resolva pelo método matricial (dos autovalores e autovetores). Descreva o comportamento das soluções quando t longrightarrow+infty. Verifique se a solução x(t)=(x1(t), x2(t))=(0,0) é ponto de equilíbrio estável ou instável, verificando se é sela, nó, foco (espiral) ou centro. Faça um esboço da família das soluções:
l x1^prime=x1+x2 x2^prime=4 x1-2 x2

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear autônomo
x1' = x1 + x2, x2' = 4x1 - 2x2,
e pede que a gente resolva via método matricial (autovalores e autovetores), descreva o comportamento das soluções quando tto+infty, classifique a estabilidade da origem (nó, sela, foco ou centro) e faça um esboço qualitativo da família de soluções. Para isso, vamos montar a matriz
A = 1 & 14 & -2
e seguir os passos padrão de cálculo de autovalores, autovetores, solução geral e análise de estabilidade.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det!1-lambda & 14 & -2-lambda = (1-lambda)(-2-lambda) - 4 = lambda^2 + lambda - 6
Resolvendo lambda^2 + lambda - 6 = 0, vem
lambda = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm 52,
ou seja
lambda1 = 2, lambda2 = -3

Passo 3

Para cada autovalor achamos um autovetor:
  1. Para lambda1=2 resolvemos
(A - 2I)v = -1 & 14 & -4v = 0 ;implies; -v1+v2=0 ;Rightarrow; v^(1) = 11
  1. Para lambda2=-3 resolvemos
(A + 3I)v = 4 & 14 & 1v = 0 ;implies; 4v1+v2=0 ;Rightarrow; v^(2) = 1-4

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear dos modos próprios:
vec x(t) = C1,e^2t11 + C2,e^-3t1-4,
onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Quando tto+infty:
  • O termo C1e^2t(1,1) cresce exponencialmente, pois e^2tto+infty.
  • O termo C2e^-3t(1,-4) decai para zero, pois e^-3tto0.
Isso mostra que há uma direção instável (aquela do autovetor (1,1)) e uma estável (a do autovetor (1,-4)). Logo a origem é um ponto de sela (saddle point) e é instável: só quem nascer exatamente na direção estável chega à origem, todos os outros se afastam.

Passo 6

Esboço qualitativo das curvas de fase:
  • Trace a reta passando pela origem com direção (1,1): é a variedade instável, soluções saem dela para t>0.
  • Trace a reta com direção (1,-4): é a variedade estável, soluções se aproximam dela quando tto+infty.
  • As demais trajetórias vêm de -infty ao longo da variedade instável invertida (para tto-infty) e, ao se aproximarem da origem, “viram” e saem ao longo da variedade estável (para tto+infty), formando o típico padrão de sela.

Resposta

A solução geral é
vec x(t) = C1e^2t11 + C2e^-3t1-4
Como há um autovalor positivo e outro negativo, a origem é um ponto de sela instável.

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