Resolva pelo método matricial (dos autovalores e autovetores). Descreva o comportamento das soluções quando
. Verifique se a solução
é ponto de equilíbrio estável ou instável, verificando se é sela, nó, foco (espiral) ou centro. Faça um esboço da família das soluções:
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear autônomo
e pede que a gente resolva via método matricial (autovalores e autovetores), descreva o comportamento das soluções quando
, classifique a estabilidade da origem (nó, sela, foco ou centro) e faça um esboço qualitativo da família de soluções. Para isso, vamos montar a matriz
e seguir os passos padrão de cálculo de autovalores, autovetores, solução geral e análise de estabilidade.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
:
Resolvendo
, vem
ou seja
Passo 3
Para cada autovalor achamos um autovetor:
- Para
resolvemos
- Para
resolvemos
Passo 4
A solução geral do sistema é combinação linear dos modos próprios:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Quando
:
- O termo
cresce exponencialmente, pois . - O termo
decai para zero, pois .
Isso mostra que há uma direção instável (aquela do autovetor
) e uma estável (a do autovetor
). Logo a origem é um ponto de sela (saddle point) e é instável: só quem nascer exatamente na direção estável chega à origem, todos os outros se afastam.
Passo 6
Esboço qualitativo das curvas de fase:
- Trace a reta passando pela origem com direção
: é a variedade instável, soluções saem dela para . - Trace a reta com direção
: é a variedade estável, soluções se aproximam dela quando . - As demais trajetórias vêm de
ao longo da variedade instável invertida (para ) e, ao se aproximarem da origem, “viram” e saem ao longo da variedade estável (para ), formando o típico padrão de sela.
Resposta
A solução geral é
Como há um autovalor positivo e outro negativo, a origem é um ponto de sela instável.