2.8D Estratégia para testar a convergência. Nos fundamentos teóricos estabelecemos vários critérios para testar a convergência ou divergência de uma série numérica; a dificuldade é: qual o teste adequado a uma determinada série. Essa dificuldade também surge quando se integra funções. Não há regra que estabeleça qual critério se aplica a qual série. Como sugestão, apresentamos um roteiro que poderá ajudar na investigação.
  1. Se lim an neq 0 ou a seqüência an é divergente o critério do n-ésimo termo deve ser usado para concluir que a série sum an diverge;
  2. Se a série é da forma sum alpha r^n-1 ela é uma série geométrica, que converge para alpha /(1-r) se |r|<1 e diverge se |r| >= 1;
  3. Se a série é da forma sum(bn-bn+1) ela é uma série de encaixe, que converge para b1-lim bn, se bn convergir. Se bn divergir a série de encaixe também diverge;
  4. Se a série é da forma sum 1 / n^p ela é uma p-série e será convergente apenas quando p>1;
  5. Tente o Teste da Razão seguindo o esquema:
& l<1 sumn=1^infty an conver>= abs Fim & l=lim |an+1an| longrightarrow l>1 ou l=infty longrightarrow sumn=1^infty an diver>= longrightarrow Fim & & boxedl=1 longrightarrow ? sumn=1^infty|an| longrightarrow Critérios Comparação / Integral & searrow & A<ernada longrightarrow Critério de Leibniz éçãé
Teste a convergência das séries:
sumn=1^infty (-1)^n 2^nn!

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n2^nn!
O conteúdo envolvido são critérios de convergência de séries numéricas, e como temos fatorial no denominador e sinal alternado, o Teste da Razão é uma boa escolha.

Passo 2

Primeiro checamos o critério do n-ésimo termo: seja
an = (-1)^n2^nn!
Como limntoinftyan=0, o critério do termo geral não descarta convergência.

Passo 3

Aplicamos o Teste da Razão em valor absoluto para an:
|an+1an| = l|(-1)^n+12^n+1/(n+1)!r|l|(-1)^n2^n/n!r| = 2^n+1(n+1)!,n!2^n = 2n+1
Logo,
limntoinfty|an+1an| = limntoinfty2n+1 = 0 < 1

Passo 4

Como o limite da razão em módulo é menor que 1, a série converge absolutamente. E toda série absolutamente convergente é convergente.

Resposta

A série
sumn=1^infty(-1)^n2^nn!
converge absolutamente e, portanto, converge.

Exercícios relacionados