Determine a série de Fourier das seguintes funções periódicas abaixo definidas. Estude as séries obtidas quanto à convergência.
f(x)=cccx & se & 0<x<1 1-x & se & 1<x <= 2

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período
estendida como função periódica de período . Depois, estudar convergência ponto a ponto e uniformidade.

Passo 2

Calcular
a0=12integral0^2 f(x),dx =12l[integral0^1 x,dx+integral1^2(1-x),dxr] =12l(tfrac12-tfrac12r)=0

Passo 3

Para n>=1,
an=12integral0^2 f(x)cos(npi x),dx =integral0^1 xcos(npi x),dx+integral1^2(1-x)cos(npi x),dx
Integração por partes em cada termo leva a
an =2,(-1)^n-1n^2pi^2 = -dfrac4n^2pi^2,&n ímpar, 0,&n par í

Passo 4

De modo análogo,
bn=12integral0^2 f(x)sin(npi x),dx =integral0^1 xsin(npi x),dx+integral1^2(1-x)sin(npi x),dx
bn=1-(-1)^nnpi = dfrac2npi,&n ímpar, 0,&n par í

Passo 5

Logo a série de Fourier fica somente com termos ímpares n=2k+1:
f(x) =sumk=0^inftyl[ -4(2k+1)^2pi^2cosl((2k+1)pi xr) +2(2k+1)pisinl((2k+1)pi xr) r]

Passo 6

Quanto à convergência:
  • Para xnotequiv0,1pmod2 (pontos de continuidade) a série converge pontualmente a f(x).
  • Em xequiv1pmod2 e xequiv0pmod2 (saltos), ela converge ao ponto médio l(f(x^-)+f(x^+)r)/2.
  • Como f é C^1 por partes, a série converge uniformemente em qualquer intervalo fechado que não contenha os pontos de descontinuidade.
  • Em L^2 há convergência para f em todo o período.

Resposta

f(x) =sumk=0^inftyl[ -4(2k+1)^2pi^2,cosl((2k+1)pi xr) +2(2k+1)pi,sinl((2k+1)pi xr) r],
com convergência ponto a ponto a f(x) nos pontos de continuidade, ao valor médio nos saltos, e convergência uniforme em subintervalos sem descontinuidades.

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