Determine a série de Fourier das seguintes funções periódicas abaixo definidas. Estude as séries obtidas quanto à convergência.
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier de período
estendida como função periódica de período . Depois, estudar convergência ponto a ponto e uniformidade.
Passo 2
Calcular
Passo 3
Para
n>=1 ,
Integração por partes em cada termo leva a
Passo 4
De modo análogo,
dá
Passo 5
Logo a série de Fourier fica somente com termos ímpares
n=2k+1 :
Passo 6
Quanto à convergência:
- Para
(pontos de continuidade) a série converge pontualmente axnotequiv0,1pmod2 .f(x) - Em
exequiv1pmod2 (saltos), ela converge ao ponto médioxequiv0pmod2 .l(f(x^-)+f(x^+)r)/2 - Como
éf por partes, a série converge uniformemente em qualquer intervalo fechado que não contenha os pontos de descontinuidade.C^1 - Em
há convergência paraL^2 em todo o período.f
Resposta
com convergência ponto a ponto a
f(x) nos pontos de continuidade, ao valor médio nos saltos, e convergência uniforme em subintervalos sem descontinuidades.