Questão 4 (3.0 pts) Calcule:
integralC 1x^2+y^2+z^2 d s, C é a curva parametrizada por
alpha(t)=(e^t cos (t), e^t sin (t), e^t), 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha da função escalar
f(x,y,z)=1x^2+y^2+z^2
ao longo da curva C dada pela parametrização
alpha(t)=l(e^tcos t,;e^tsin t,;e^tr), 0<= t<=1
Para isso usaremos a definição
integralCf,ds ;=;integral0^1fl(alpha(t)r),llvertalpha'(t)rrvert,dt

Passo 2

Primeiro, calculamos o valor de f ao longo de alpha(t):
x^2+y^2+z^2 =(e^tcos t)^2+(e^tsin t)^2+(e^t)^2 =e^2t(cos^2t+sin^2t)+e^2t =2e^2t
Logo
fl(alpha(t)r) =1x^2+y^2+z^2 =12e^2t

Passo 3

Agora calculamos lvertalpha'(t)rvert. Derivando cada componente:
alpha'(t) =l(e^t(cos t-sin t),;e^t(sin t+cos t),;e^tr)
O quadrado da norma é
lvertalpha'(t)rvert^2 =e^2tl[(cos t-sin t)^2+(sin t+cos t)^2+1r] =e^2t(2+1) =3e^2t,
portanto
lvertalpha'(t)rvert =raiz3,e^t

Passo 4

Substituindo em integral0^1f(alpha(t)),lvertalpha'(t)rvert,dt, temos
integralC1x^2+y^2+z^2,ds =integral0^112e^2t;l(raiz3,e^tr),dt =raiz32integral0^1e^-t,dt

Passo 5

Basta integrar integral0^1e^-t,dt:
integral0^1e^-t,dt =l[-e^-tr]0^1 =1-e^-1
Logo a integral de linha é
raiz32,l(1-e^-1r)

Resposta

boxedraiz32,l(1-e^-1r)

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