2.8D Estratégia para testar a convergência. Nos fundamentos teóricos estabelecemos vários critérios para testar a convergência ou divergência de uma série numérica; a dificuldade é: qual o teste adequado a uma determinada série. Essa dificuldade também surge quando se integra funções. Não há regra que estabeleça qual critério se aplica a qual série. Como sugestão, apresentamos um roteiro que poderá ajudar na investigação.
  1. Se lim an neq 0 ou a seqüência an é divergente o critério do n-ésimo termo deve ser usado para concluir que a série sum an diverge;
  2. Se a série é da forma sum alpha r^n-1 ela é uma série geométrica, que converge para alpha /(1-r) se |r|<1 e diverge se |r| >= 1;
  3. Se a série é da forma sum(bn-bn+1) ela é uma série de encaixe, que converge para b1-lim bn, se bn convergir. Se bn divergir a série de encaixe também diverge;
  4. Se a série é da forma sum 1 / n^p ela é uma p-série e será convergente apenas quando p>1;
  5. Tente o Teste da Razão seguindo o esquema:
& l<1 sumn=1^infty an conver>= abs Fim & l=lim |an+1an| longrightarrow l>1 ou l=infty longrightarrow sumn=1^infty an diver>= longrightarrow Fim & & boxedl=1 longrightarrow ? sumn=1^infty|an| longrightarrow Critérios Comparação / Integral & searrow & A<ernada longrightarrow Critério de Leibniz éçãé
Teste a convergência das séries:
sumn=1^infty n^2n!

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty n^2n!
Estamos no conteúdo de critérios de convergência de séries numéricas e vamos usar o Teste da Razão, pois a presença de fatorial sugere essa escolha.

Passo 2

Definimos o termo geral da série como
an = n^2n!
O Teste da Razão diz para calcular
l = limntoinfty |an+1an|
e comparar l com 1.

Passo 3

Calculamos a razão entre termos sucessivos:
an+1an = (n+1)^2(n+1)!n^2n! = (n+1)^2n^2cdotn!(n+1)! = (n+1)^2n^2cdot1n+1 = n+1n^2

Passo 4

Agora tomamos o limite:
l = limntoinfty n+1n^2 = limntoinfty l(1n + 1n^2r) = 0
Como 0<1, o Teste da Razão conclui que a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty n^2n! converge absolutamente, logo converge.

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