Determine as constantes a, b, c e d de modo que:
lim x 1 b raizx+3-ax-1=16

Passo 1

O enunciado pede para achar as constantes a e b (não há c nem d no resto da expressão) de modo que
limxto1braizx+3-ax-1=16
O conteúdo aqui é cálculo de limite de tipo 00, o que exige anular o numerador em x=1 e depois extrair o coeficiente de x-1.

Passo 2

Para que o limite seja finito (tipo tfrac00), precisamos que o numerador se anule em x=1, isto é,
braiz1+3-a=0 Longrightarrow bcdot2 - a = 0 Longrightarrow a = 2b

Passo 3

Escrevemos a expressão usando a=2b:
braizx+3-ax-1 = braizx+3-2bx-1 = b;raizx+3-2x-1
Para extrair a razão à medida que xto1, usamos o binômio de Newton ou racionalização. Note que, perto de x=1,
raizx+3 = raiz4 + (x-1) approx 2 + x-12cdot2 = 2 + x-14,
logo
raizx+3-2 approx x-14

Passo 4

Substituindo essa aproximação no quociente, obtemos
limxto1raizx+3-2x-1 =14
Então
limxto1braizx+3-ax-1 = b cdot 14 = b4

Passo 5

Igualamos ao valor pedido tfrac16:
b4 = 16 Longrightarrow b = 46 = 23
E, como a=2b, vem
a = 2cdot23 = 43

Resposta

a = tfrac43, b = tfrac23

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