2.8D Estratégia para testar a convergência. Nos fundamentos teóricos estabelecemos vários critérios para testar a convergência ou divergência de uma série numérica; a dificuldade é: qual o teste adequado a uma determinada série. Essa dificuldade também surge quando se integra funções. Não há regra que estabeleça qual critério se aplica a qual série. Como sugestão, apresentamos um roteiro que poderá ajudar na investigação.
  1. Se lim an neq 0 ou a seqüência an é divergente o critério do n-ésimo termo deve ser usado para concluir que a série sum an diverge;
  2. Se a série é da forma sum alpha r^n-1 ela é uma série geométrica, que converge para alpha /(1-r) se |r|<1 e diverge se |r| >= 1;
  3. Se a série é da forma sum(bn-bn+1) ela é uma série de encaixe, que converge para b1-lim bn, se bn convergir. Se bn divergir a série de encaixe também diverge;
  4. Se a série é da forma sum 1 / n^p ela é uma p-série e será convergente apenas quando p>1;
  5. Tente o Teste da Razão seguindo o esquema:
& l<1 sumn=1^infty an conver>= abs Fim & l=lim |an+1an| longrightarrow l>1 ou l=infty longrightarrow sumn=1^infty an diver>= longrightarrow Fim & & boxedl=1 longrightarrow ? sumn=1^infty|an| longrightarrow Critérios Comparação / Integral & searrow & A<ernada longrightarrow Critério de Leibniz éçãé
Teste a convergência das séries:
sumn=1^infty (n!)^2(2 n)!

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty (n!)^2(2n)!
Este é um problema de investigação de convergência de séries numéricas. Vamos usar o Teste da Razão (item 5 do roteiro), que costuma ser eficaz quando aparecem fatoriais.

Passo 2

Seja
an = (n!)^2(2n)!
Aplicando o Teste da Razão, consideramos
an+1an = l((n+1)!r)^2(2n+2)!;/;(n!)^2(2n)! = (n+1)^2,(n!)^2(2n+2)(2n+1),(2n)!;cdot;(2n)!(n!)^2 = (n+1)^2(2n+2)(2n+1)

Passo 3

Simplificando
an+1an = (n+1)^22(n+1),(2n+1) = n+12(2n+1)
e calculamos o limite
limntoinftyan+1an = limntoinftyn+14n+2 = 14

Passo 4

Como o valor-limite do quociente é
l = 14 < 1,
pelo Teste da Razão a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série sumn=1^infty (n!)^2(2n)! converge (convergência absoluta pelo Teste da Razão, já que l=1/4<1).

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