Questão 1 (2.5 pts.) Calcule integralC-2 x y d x+(x^2+y^2) d y onde C é a curva dada por C:cx^2+4 y^2=2 x y >= 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC-2xy,dx + l(x^2+y^2r),dy
onde C é o semieixo superior da elipse dada por
x^2+4y^2=2x, y>=0
O conteúdo principal aqui é aprender a parametrizar a curva e substituir na forma P,dx+Q,dy.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a elipse completando quadrados:
Isso mostra uma elipse de centro
que percorre a parte com (y\ge0] no sentido anti-horário (positivo).

Passo 3

Calculamos as derivadas:
dx = -sin t,dt, dy = tfrac12cos t,dt

Passo 4

Substituímos x(t), y(t), dx e dy em
P=-2xy, Q=x^2+y^2,
para obter o integrando
-2x y,dx + (x^2+y^2),dy = l(1+cos tr)sin^2t,dt ;+;l(tfrac54+2cos t+tfrac34cos^2tr)tfrac12cos t,dt
Ao somar e simplificar em termos de potências de cos t, chega-se a
1 + tfrac138cos t - tfrac58cos^3 t

Passo 5

Agora integramos de 0 a pi:
integral0^pil(1 + tfrac138cos t - tfrac58cos^3 tr),dt =integral0^pi1,dt +tfrac138integral0^picos t,dt -tfrac58integral0^picos^3 t,dt
Como integral0^picos t,dt=0 e integral0^picos^3 t,dt=0, sobra
integral0^pi1,dt = pi

Resposta

pi

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